Allgemeine Iransformation der bestimmten Doppel-Integrale. 171 



licher Reihen. — Schliesslich noch die Bemerkung, dass, wenn man in der zweiten Gleichung 

 dieses Artikels k = setzt, daraus die Gleichung: 



Oö oc 



1 



[dx fr-** *^L+M dy = 2 r * . /V^sin 2 X dX 



J J y/xy ./ tfi.y/l—abp J q 



hervorgeht, deren rechte Seite nach Ausführung der auf X sich beziehenden Integration 

 übergeht in: 



/ab 



dpL 



(x>+4)V> . l/l— abfi 



Führt man auch diese Integration aus, so wird man — =^r erhalten, und es folgt somit die 

 Lxleichung : 



Ovi «C 



sin (<kc + by) 2n 



r. r v — sm ( ax + 6 '/) 7 

 / dx / e-*^ — — __ i " dy = 



J J i/xv 



y/xy yiab-j- k- 



welche für a = 1,6 = 1 ganz mit derjenigen übereinstimmt, welche Cauchy a. a. 0. aus 

 der Betrachtung von Reihen erhielt. 



38. 



In der Gleichung (III) des Art. 35 setze man für/ (ax -f by , xy) einmal: 



,/— sin Je y/xy . , . . -, , «/— cos Ic y/xy . 



e — zVa;j j__^_ sin ^aj _|_ ^ un( j d ann: e — * y ^ __ cos (ax + 6#) 



y/xy y/xy 



so wird man nach Umkehrung der Integrationsfolge der Veränderlichen X und /z finden: 



[dx [e-**w Sin * ^ sin («x- 4- Äy) dy = 2 /" " _ ^ -= [er-*** tön kXVjT. sin 2X dX 



J J y/xy *> ' J y^.yi-ab^J 



fax [c~* v ~y l_ Xy cos (ax + fo/) dy = 2 /— = [e~^ v ß i-oskxV/x . cos 2 X dX 



J J y/xy J \ffx . yi-ab/tJ 







Nun ist offenbar 



[ e-rt sin «A sin ßX dX=n~\ 1 J- j 







oo 



fe-r> cos aA cos *»* = ± { ( ._^ + > . + („-/,■+,■ } 



