172 Anton Windeier: 



Es lassen sich also auch hier die beiden Integrationen nach X sogleich ausführen, und 

 man erhält: 



/ dx i e- y - ^*y X Xy sin (ax + by) dy = 



J J \xy 



1 



r^> dfi ( l l ) 



' J |/1— -ab/t \ (k yp — 2) 2 -f x*fi (k y> + lf + x 2 p ) 

 und ebenso: 



OO OO 



/r 4/— cos & \/xy , . . , 



<&c / e — zV ^ z^ 1 cos (ox -f %) f/?/ = 



* rijL= j \ +' 



J \/\ — aba{ (k Vu — 2) 2 -fr« 



yi — ab/i ( (A VA« — 2 ) 2 + *"> ( k V/* + 2 ) 2 + *> 



Da sich auch die Integrationen bezüglich jj. ausführen lassen , so sieht man dass die 

 beiden Doppel-Integrale in endlicher Form gefunden werden können. 



Von Interesse ist jedoch nur der specielle Fall für /. = 0. Es ereignet sich nämlich 

 auch hierfür der Umstand, das beide Integrale rechter Hand verschwinden, wenn (Ar — 4 ab) 

 negativ, dagegen einen von Null verschiedenen Werth erhalten, wenn jener Ausdruck positiv 

 ist. Um dies zu zeigen bemerke man vor Allem, dass das auf das zweite Glied sich bezie- 

 hende Integral, nämlich: 



/ 



dp. 



\/l— abp (k ]/p + 2) 2 + xffx 



unter allen Umständen mit x verschwindet, so dass man es also nur mit dem ersten Gliede 



i 



dp ■/. 



r 



\ 1 — abp. (k \p — 2/ + x'p 



zu thun hat. Es sei nun k so beschaffen, dass k |//j — 2 niemals Null werden kann, so lange 



/i zwischen und — liegt, so dass also der Ausdruck kVp auch für den grössten Werth von 

 ab 



\x den Werth 2 nicht erreicht, und daher 



h 



2 < oder ¥ — 4 ab < 



y'ab 



Alsdann bleibt, wie im vorigen Falle, auch für x = der Nenner stets von Null verschieden, 

 folglich das Integral endlich. Mit x — werdend verschwindet also der ganze Ausdruck. 



Anders aber verhält es sich in dem letzten noch zu betrachtenden Falle, wenn kVfi — 2 



für einen zwischen und — liegenden Werth von a verschwinden kann, oder also: 



ab 



—= — 2 > oder ¥ — 4 ab > 



y'ab 



ist. Dann erscheint das Integral als zu der Classe der sogenannten singulären Integrale 



gehörig, deren Werth blos aus einem unendlich kleinen Intervall der Grenzen entspringt und 



