Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 173 



zu welchem aus den übrigen Intervallen kein Beitrag geleistet wird. Im vorliegenden Falle 



4 

 bildet jenes Intervall die unendlich nahe Umgebung des Werthes fi = — , für welchen der 



Nenner (k V ji — 2) 2 -f *~ I 1 m i* x verschwindet, und daher das entsprechende Element des 

 Integrals unendlich gross macht. Ich will nun vor Allem das Integral in die Form 



i 

 °* dfi 1 x 



r 



Vi* V ± _ ab & V ~ 2 )' + *P 



bringen und von der Bemerkung ausgehen, dass, weil nur die in unmittelbarer Nähe von 



4 

 /i = — liegenden Werthe in Frage kommen, der Factor 



i 



- — ab = -V¥ — lab 

 fi 2 



als constant vor das Integralzeichen gesetzt werden kann. Setzt man zugleich auch 



i— 2 dfi Idx 



x j/£ ~ x- 



so ergibt sich: 



CK) 



2 r x dx 



VJc' — labJ (£— «)* + «' 



Bezeichnet e eine sehr kleine Grösse, so verschwinden, für x = 0, offenbar diejenigen 

 Theile dieses Integrals, deren Grenzen resp. von 2 V ab bis k — e, und von k 4- e bis oo 

 sich erstrecken, so dass allein das Zwischenglied: 



i+e 

 2 r x dx 



yk 2 — lab J _ (k — ») a + * 2 



übrig bleibt, welches um so näher den ganzen Integralwerth darstellt, je enger das Intervall 

 h — £ bis h -\- e genommen wird. Führt man nun die Integration aus, so erfolgt: 



arctg (i) 



\U — lab 



Hieraus lässt sich leicht erkennen, was für ein in Null übergehendes x hervorgeht. Für 

 x = wird nämlich der eine Factor 



arctg I - 



y. < <> 



und für ein gleichfalls ohne Ende abnehmendes e stellt der andere Factor 



2 



yftf— lab 



bereits den richtigen Grenzwerth dar. 



Fasst man diese Resultate zusammen, so folgt, dass jedes der beiden Integrale : 



oo oo oo oo 



/ dx / "X Xy sin (ax + by) dy , J dx J _L ' cos (ax + by) dy 



