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j/& 2 — 4 «5 



Für das erstere Doppel-Integral stimmen diese Ergebnisse genau mit denjenigen 

 iiberein, welche Cauchy a. a. 0. auf ganz verschiedenem Wege gefunden hat. Soviel mir 

 bekannt ist dagegen das zweite Integral bis jetzt nicht in Betracht gezogen worden. 



39. 



Setzt man in der Gleichung (III) des Art. 35 für/ (ax 4- by, xy) den Ausdruck: 



sin k \/xy sin (ax -\- by) 

 \/ääy ax 4- by 



so wird man finden: 



oo oo 



fdxf sin k ^ . sin ( ax + W dy = f ä _ * f sin ^ ^ • *> sin 2ArfA 



Um zuerst die Integration nach X auszuführen, kann man von der bekannten Gleichung: 



/„; cos aX — cos bX _, 1 , r 2 -\- b 2 



e~ rA dX = - log ' . 







ausgehen und bemerken, dass 



, ., . a — 5 . a 4- ^ , 



cos ax — cos 6/ = — 2 sin ■ — - — / sin — - — / 



und also, wenn: a s= a 4- /?, b — a — /? gesetzt wird: 



/ e — ; — sin a/c/x = - log — 



J X 4 ° («-/9j a + r 







und für j = 0: 



/ — -— sin ax . dX = - loff [ ) 



J X 4 *\a — ß) 







Setzt man hierin: ß = kV/J., a = 2 und substituirt dann den Werth des Integrals in die 

 obige Gleichung, so folgt für deren rechte Seite der Ausdruck: 



4./ i///.yi — atyi V2 — äj//i/ 



4./ ^.yi-aty V&-*V7«' 



Setzt man darin, der Vereinfachung wegen: 



so erhält man : 



, , dfi 2 sin x 



ab . \i = cos" x , ; = -_z— . ax 



\//i ]/ab 



_4= r dx . log p»g+*— y 



2j/a&./ \2 \/ab — k cos a;/ 



