Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 175 



Ob sich dieses Integral in endlicher Form darstellen lässt, oder ob es nur einer Reduc- 

 tion auf eine einfachere Quadratur fähig sei, will ich auf folgende Art zu entscheiden suchen. 

 Es seien a und ß zwei Constante und zwar sei: 



< a < TT und — 1 < ß < f 1 



so ist offenbar: 



« ß ß a 



cos x dy f f cos x dx 



/ n f cos x di/ C t C cos x d x 



dx / ■ — = I dy I 

 J y cos x -f- 1 J J y cos x -\- 1 







Führt man auf jeder Seite die erste Integration aus, so findet man: 



yiog (1 -]- ß cos x) dx =f j\<*— 7fi=i arctg (|/ TTy " tang ¥ 



ii ' 



Schreibt man — ß für ß, und — y für y, so erfolgt: 



u ß , 



yiog (1 — ß cos x) dx =j Mo. 7 ==^ arctg (^ j—2 . tang jj J 



ii o V J 



Die Differenz dieser beiden Gleichungen gibt: 







Das Integral rechter Hand lässt eine beträchtliche Vereinfachung zu. In der That, 

 setzt man: 



y = sin x , dy = cos x dx 



so gelangt man zu der bemerkenswerthen Gleichung: 



a aresin ß 



/l -\~ ß cos sc r dx 



log dx = 2 I - — arctg (sm a tang x) . . . (1) 

 J. p COS CC ^J S1IJ X> 







Für a — - folgt hieraus: 



£l aresin /3 



r •-' 1 + ß cos x f x , 



/ log ■ ■ dx = 2 / - — dx 



J 1 — ß cos sc ,/ sin sc 







Hieraus geht nun zur Genüge hervor, dass von einer Darstellung des vorliegenden Inte- 

 grals in endlicher Form nicht die Rede sein kann. Ich erwähne dieses Umstandes auch darum, 

 weil aus einer Formel von Lobatschewsky 1 ) (Mem. Kasan. 1836. II, p. 23) für jenes 

 Integral sich der Werth: 



2 X log sec j — arecos ß J 



ergibt. 



] ) S. Bierens de Haan. Tablcs d'integrales definies. T. 343, Nr. 13. 



