176 Anton Winckler. 



Dies vorausgesetzt, hat man also : 



k 

 oo oo arcsin — 



//* sin k Vxy sin (ay 4- bii) , 2 f "^ ab x dx 



dx / -L^ . , , ' /; dy = -— / - T — , wenn 4o6 — Ar < 



y l/scy ax + by l/aJ.7 sin x 



Die oben gefundene Formel (1) ist nicht mehr brauchbar, wenn der absolute Werth von 

 ß die Einheit übersteigt. Dann muss in der Gleichung: 



a Ja 



1 -f- ß COS X f f COS x dx 



/. 1 + ß cos x r f cos x dx 

 log dx = / du / 

 1 + cos x J J J y COS x-\-l 



y 







die Integration nach x auf der rechten Seite durch Logarithmen statt durch Bogen geschehen, 

 wobei man findet: 



/ 1+/9C0S* 7 /dy ( 1 , VV+1 + 1/y-l-tang- 



/ lo §" vV" ■ dx = — < a log 



J 1 + c o s oa J v t i/V _ 1 .. / — r~r * / ? « 



o i ' l V» * Vy+1 — yy— 1 • tang- 



Führt man in gleicher "Weise in der Gleichung: 



1 — ß cos x f r — cos x dx 



/log dx = \ dy 

 1 — cos x J J 







y cos x-\- 1 



die Integration aus, so erfolgt: 



/\ 1— /?cos.r _ P du k 1 , F ' v * ° o 



/ lo g -; ■ dx = / — { « log 



Vv 1 — 1 \fy — 1 - - j/y+i • tang- 



also durch Subtraction der beiden Gleichungen: 



a a 



f 1 -\-ß COS 33 p ■ X 



ß 



+ 



Ä (l/y-l + l/y+l.tangj)(l/y + l- l/y-l.tang^) 



/ log — — 



•{ yVtf-1 ty^-i-y/y + l .tang|)(v/y+l + f/y— 1 . tang|) 



Auch hier lässt das letzte Glied eine beträchtliche Vereinfachung zu, wenn man: 



V 1 X 7 • 9 7 



" = tang - , z/ = sec x , dy — sin cc sec x dx 



y 



substituirt. Nach einigen Umformungen erhält man nämlich : 



arcsec ß 



Mi^J * = - »M^J * + < M=£3)" * •••'•« 



