Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 177 



Diese Gleichung ist nur so lange giltig als ß cos a nicht unter die Einheit fällt. Durch 

 die Gleichungen (1) und (2) ist die Transformation des in Frage gestellten Integrals für alle 

 Fälle gegeben, in welchen es nicht unbestimmt oder unendlich gross wird. 



40. 



Der Zusammenhang zwischen den alten und neuen Veränderlichen sei den Gleichungen 



x = X {Atß) = (ri + s) m (afi + &)" 



gemäss festgestellt. Man erhält dann, wie leicht zu sehen: 



A == mnr (aß — ab) . (rX + *)■— * . (afi + 6) n ~ ] . (a/z + ß) n ~ l 

 und wenn die gegebenen Grenzen des Integrals nach x und y constant sind, so ergeben sich 

 diejenigen bezüglich der neuen Veränderlichen wie folgt. Es ist 



also: 



1 



ß , y" 



a (rX + s) " 



i 





« 



a (rl -f s) » 



l 



U 1 = ^ 



a(r). + «)" a(rA-i-s)' 1 



Daraus rindet man auf bekannte Art, die weiteren Grenzen-Werthe: 



;. u — — 



k° = - 



1 1 M 



8 



»• \ ff/? — «6 / »• r \ aß — ab ) 



s . 1 (aijS — «£ 



?• 



/ flyV' — a?o" V" . ! _ f. i I M." — «c." V 



y aß — ab I r r \ aß — ab J 



Da hierdurch Alles gegeben ist, was zur Darstellung des transformirten Integrals ver- 

 langt wird, so scheint eine weitere Ausführung derselben nicht nöthig zu sein. Wohl aber 

 verdienen einige besondere Fälle einer nähern Beachtung. Es sei nämlich : 



£ = > Vo = ° > & = £ i Vi = v 



Ausserdem nehme man an, es sei 



r = 1 , s = , a = : 1 , 6 = , « = - 1 , /? = -|- 1 

 Dann ergibt sich: 



/i = , /i° = + 1 fr = = £"i /i' = : 1 - - 7 "J 



v = o , v = r , v = »- , v = U- + r) 1 



A = mn . A 2 "- 1 /tf*" 1 (1 — /z)" -1 , a = A> ,! , # = A m (l — n) n 



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