178 Anton Winckler. 



Substituirt man diese Werthe in die Gleichung (III) des Art. 17, so findet man nach einigen 

 Umgestaltungen die folgende Gleichung: 



Jdxjf{x,y) dy = 



j f?«*-* dkJin—fi^fW, A»(l-/i)»] dft + /*/l 2 "'- 1 cZ//"( / x- / x 2 )"- 1 /[^(l-/i) , W>"]^ 







f"A 



+ mnjx*"^ dX j /" (pi-^flX^ X'*(l -/x)"] <$i + f fa - n)'-* f [X" (1 -/*)», ^ <f/u J 







worin die Symmetrie bezüglich £ und ^ deutlich hervortritt. 



Nimmt man hierin die besonderen Werthe m = 1, ra == 2 an und setzt zugleich auch : 



ji — cos 2 , d/i = — 2 sin cos J# 



so kann man der Gleichung nach einigen leichten Umformungen die folgende sehr einfache 

 Gestalt geben: 



J dx f f{x,y) dy = 







^ arccos -r j arccos -y 



fxdxf 'f(X cos d, X sind) dd -\- fxdX f 'f(X sin ti, X cos 0) 



dO 





+ f A <ü f'f(X cos 0, A sin 0) 



dt) 



Diese Formel wird in vielen Fällen von Nutzen sein, da, wie bekannt, die zu Grunde 

 liegenden Substitutionen : 



x = X cos , y = X sin 



häufig die gewünschte Umgestaltung des gegebenen Differentials bewirken. 

 Ist £ = oo und 7] =r oo , so ergibt sich : 



o© oo 



dx f (x, y) dy = I X dX f (X cos 0, X sin 0) 



dd 







Es sei z. B. 



f(x, y) = *-*<»+» 



so gibt die angeführte Formel unmittelbar: 



oo oo 



f dx f '*-»<*+* dy = fx dX f*g-*»i™'9+4* v * 



dß 



