Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 179 



oder was dasselbe sagt: 



j f e-**dxX = n - f e~ k2X ' . Xdk 



o o 



Das rechter Hand noch stehen gebliebene Integral lässt sich unbestimmt finden und hat den 



1 

 Werth —^ und man erhält somit die bekannte Gleichung: 







Es sei ferner: 



dx = i— 

 2k 



— 1 „.2 n— 1 



f(x,ij) =■- i-V+A . x 2m ~ l y 

 so ergibt sich unmittelbar: 



f e~ x '- x 2 '"- 1 dx f e~"' : zf"- 1 dy = /" cos*— J 6 sin 2 — 1 dO f e" A: /-<•» + «>-' dX 



11 



Bemerkt man aber, dass: 



OO CO 



/* 1 /* 1 



/ e -* ; cc 2 '"- 1 dx = - I e~* . cc'"- 1 <7x = - /]>) 







so geht die so eben gefundene Gleichung über in die folgende 



i l\m) l\n) = r(m + n) f~ cos 2 "'- 1 sin 2 "-' 6 dt) 

 woraus man sofort erhält: 



fcos'-'tf . sin— >o de = 1 . r p r -^- 



J 2 r(m+n) 



o 



Es sei hierin: 



/— . ,- ■ dx 



cos = Va; , sin = V 1 — sc , c70 



2 |/ö; • |/1 — a; 



so verwandelt sich diese Gleichung in die bekannte Relation der Euler'schen Integrale erster 

 und zweiter Gattung, indem man erhält: 



r{m) f(n) 



/ a;'"- 1 (1 — »)"-* tfcc = „ y v 



(m-\-n) 



u 



Ich will ferner noch annehmen, es werde an die Stelle von /"(sc, y) der Ausdruck: 



\/ax*+btf) 

 gesetzt. Man findet dann aus der frühem Gleichung die folgende: 



fdx f^±£Ldy = ff(X 2 )dXr-^ 

 J J 1/W 4- bv- J ' J t/« 



j/aa; 2 -f btf J J ]/a cos 2 tt -\- b sin 2 



