Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 181 



Auch findet man : 



ab 



& = -— — - 



Substituirt man diese Werthe in die Gleichung (X) des Art. 21, so folgt: 



fff(x,y) dxdy = %( dX r /[«V¥,hmi-ri \ dfi 



JJ 4 ^ i VpO—p) 



wobei alle positiven Werthe von x und y zu umfassen sind, welche der Bedingung: 



0< - + ^<1 

 a b 



entsprechen. Setzt man X = p 2 , ji = cos 2 d so wird 



i * 



f f(x, y) dx dy = ab pdp / f (ap cos , bp sin 0) d0 



o ü 



Handelt es sich z. B. um den Inhalt des Quadranten der Ellipse, so ist/(cc, y) = 1 zu setzen 



7t 



und man erhält, wie es sein soll, -ab für den Werth des Doppel-Integrals. 



4 



42. 



Unterwirft man den Ausdruck 



dx dy 



f(x 2 — 2xy cos 7- + y*) ■ 



v(i-^)(i-y 2 ) 



der doppelten Integration, und soll derselbe alsdann durch neue Veränderliche transformirt 

 werden, so eignen sich hierzu die Relationen: 



x = X {Kll) =-. aX Vi — &V — b/iVl— a 2 X 2 



y = Y {Kll) !=! aX Vi — b 2 p. 2 + bpVl — a 2 X 2 

 worin unter a und b positive Grössen verstanden sind. 

 Aus diesen Gleichungen folgt zunächst: 



x + y = 2 aXVl — b 2 pr , xy = a 2 X 2 — b 2 /r 

 ■>* + f = 2 [a?X 2 + b 2 p~ — 2 a-b 2 X 2 p 2 j 



x 



Dessgleichen erhält man: 



x 2 — 2 xy cos y -f y 2 = 4 [ a 2 X 2 sin 2 - + b 2 p 2 cos 2 - — a 2 b 2 X 2 pr j 



(1 - x 2 ) (1 - y 2 ) = (1 - a 2 X 2 - b 2 pj 

 Hieraus folgt: 



V{1 — x 2 )(l—y 2 ) = l- a 2 X 2 — b 2 p- 

 wenn nämlich vorausgesetzt wird, es solle in der hier vorliegenden Aufgabe stets der posi- 

 tive Werth dieser Wurzelgrösse genommen werden. — Ferner findet man: 



a~r- + sy — i 



2 ab . 



l/l — aT . V 1 — J V 



