182 Anton Winckler. 



so dass sich das vorgelegte Differential in den folgenden Ausdruck verwandelt : 

 - 2 ab . /[ 4 (arX 2 sin 2 T - + b 2 /i 2 cos 2 T - — ifFFff) 1 . & *P ^ 



Ohne der Allgemeinheit zu schaden kann man hierin 



a = cos — , 6 = sin - 



setzen, so dass nunmehr 



x = / cos - / 1 — /r sin" - — /z sin - 1/ 1 — X cos' - 



y = X cos 7 - VI — ;r sin 2 r - + p sin | J/ 1 — X 2 cos 2 | 



wird, und der gegebene Differential-Ausdruck die Form 



— sin y . dl d/i 



f [ sin 2 r — (1 — ; 2 ) (1 — /r) sin 2 r ] 



Vi— A a cos 2 | . y 1 — A- sin 2 



erhält. Um die Bestimmung der Integrations-Grenzen bezüglich A und /x an einem bestimmten 

 Falle durchzuführen, will ich annehmen das Doppel-Integral habe sich auf alle positiven 

 und negativen Werthe von x und y zu erstrecken, welche der Bedingung 



< x 2 + f < 1 

 Geniige thun. Dann sind die Grenzen des Doppel-Integrals offenbar: 



Co = - 1 , 6 . = 4- 1 



^°(x) = — Vi — x 2 , ^(x) = -f Yl—x 2 

 Die Werthe /i , fi t ergeben sich, wenn man aus der Gleichung 



x = aX . Vl~ &y — fyi /l — a 2 A 2 

 den Werth 



fyi — —xVl — « 2 A- ± a^V 1 — x 2 

 ableitet und darin x = — 1 und 2; = 4- 1 setzt, wie folgt: 



l/l — a 2 A 2 V 1 — «"^" 



"• = + — i — ' * = r~ 



Wenn für irgend einen Werth von X die Veränderliche \i zwischen diesen Grenzen liegt, 

 so bleibt, wie oben vorausgesetzt wurde, der Ausdruck: 



1/(1 — x 2 ) (1 — f) = 1 — a 2 X 2 — &V = (Vi - a*X 3 — i/i) (V 7 ! — fX 2 + V) 



in der That beständig positiv. 



Was nun ferner die Werthe //, [t 1 betrifft, so müssen sie sich aus der Gleichung: 



0.0 1 



x- -f y = 1 

 ergeben, welcher sie Genüge leisten müssen. Daraus aber folgt, wie leicht zu sehen: 



1 — 2 bifi = 2 a 2 ;; 2 (1 — 2 b'ft 3 ) 



