184 Anton Winckler. 



Setzt man: 



x = cos u , v = sm w 



so verwandelt sich der Differentialausdruck sogleich in die daselbst gewählte Form, näm 

 lieh in: 



du dv 



v 



i/l — cos' 2 y — cos 2 u — cos 2 v — 2 cos y cos u cos 

 Wendet man dagegen die Transformation mittelst der Grössen X, fi an, so erhält man: 



dl d/i 



# y(l-A 2 )(l-^cos 2 I) . ya-^Cl-^sin'f) 



(1) 



(2) 



Wenn nun aber hieraus der Schluss gezogen wird, dass auch die doppelten Integrale von 

 (1) und (2) einander gleich seien und zwar dass 



du dv = F (X : cos I) . F (a. sin !■) . . . (3) 



•i/l — cos 2 ; cos 2 ?« — cos 2 « — 2 cos 2 y cos w cos v * 



das Product zweier elliptischen Integrale erster Gattung sei, so liegt hierin offenbar ein Irr- 

 thum; denn aus den vorangegangenen Betrachtungen hat sich mit Bestimmtheit ergeben, 

 dass das durch zwei neue Veränderliche transformirte Doppel-Integral nicht nur aus Einem, 

 sondern im Allgemeinen aus drei wesentlich verschiedenen Bestandteilen gebildet ist, deren 

 Grenzen nicht constant, sondern veränderlich sind. Nun müssten aber wohl die Grenzen 

 bezüglich der neuen Veränderlichen X, ji constant, oder, was dasselbe ist, von einander unab- 

 hängig sein, wenn aus der Integration von (2) das angegebene Product hervorgehen sollte. 

 Fehlschlüsse, wie derjenige, aus welchem die Gleichung (3) erhalten worden ist, lassen sich 

 jedoch in dieser Materie auch sonst öfter bemerken. 



Ich füge nur noch bei, dass man in dem oben betrachteten Beispiele auch die Grenz- 

 bedingung: < x 2 cos 2 ^ + y- sin 2 ^ < 1 hätte zu Grunde legen können, und dass die 

 Transformations-Gleichungen: 



x = cd Vi + by — b,i Vi + a z X 2 



y = aX Vi + b 2 /r + bji Vi + arX 2 

 wofür man 



1 j r a 1 X--\-Vif 



A = — 2 a& 



erhält, ebenfalls zu neuen Resultaten führt. 



43. 



Manche bemerkenswerthe Ergebnisse lassen sich aus der folgenden Betrachtung ziehen. 

 Der Zusammenhang zwischen den alten und neuen Veränderlichen sei durch die 



Gleichungen: 



