Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 185 



x m yn 



: + 



/ — a f. — b 



— + -V— = 1 



jj. — a n — b 



gegeben, oder, was dasselbe heisst, es seien für x, y die folgenden Ausdrücke in A, ll gewählt 

 worden: 



1 1 



X -A.(A, ß) 



y= y ( 



\A S — p) (ä — a) \/I — a ) 



( tl '-a')(x'-b t )-{l r -a r )( M '-b') 



(/ - f) (/ - b S ) f - b s ) 



(Kß) 



((//-«^(/'-^-(r-^G/-^) 



Setzt man zur Abkürzung: 



P = {S-a)(x s -b s ) , Q = (/-«*) fr- 6*) 



so ergibt sieb, wie eine leichte Rechnung zeigt: 



A = j_ X1 _„, yi _„ W~ x ft'-y) Q+. M -% r -x') p] k- (ry) o+rr-' (^-/) p] 



mn ' (P—Qf 



Was die Grenzen des Doppel-Integrals betrifft, so werde ich in den Fällen, von welchen 

 bald ausführlicher die Rede sein wird, annehmen, die Integration habe alle diejenigen posi- 

 tiven Werthe von x und y zu umfassen, welche der Bedingung: 



m n 



< + — '—< 1 



a — a p — b 



Genüge leisten, vorausgesetzt dass a, ß, a, b positive Grössen bezeichnen. Da die Durch- 

 führung der Aufgabe in der so eben angedeuteten Allgemeinheit hier, schon der weitläufigen 

 Resultate wegen nicht Platz finden kann, so werde ich nur solche Fälle näher erörtern, in 

 welchen gewisse Specialisirungen eine Vereinfachung bewirken. 



44. 



Zunächst möge der besondere Fall betrachtet werden, in welchem die beiden Expo- 

 nenten r und s einander, und zwar jeder der Einheit gleich ist. 



Für diesen Fall wird A wesentlich einfacher. Man erhält nämlich nach einigen Reduc- 

 tionen : 



A = \ . ^ r 



mn(a — Ä)™ + "~ [(7 — a) (a — ft)\ " |_(A — Ä) (tt - b)\~ " 



Dieser Ausdruck kommt also zur Anwendung, wenn in einem Doppel-Integral statt x, y 



die neuen Veränderlichen X, jx vermöge der Gleichungen : 



x m ll n 



+ 7^T = 1 



A — a k — b 

 fj. — a fi — b 



Dunksehrirten der mathem.iiatui w. Cl. XX. Ild. AMandl. v. Nichtmitgliedei n. 



