186 Anton Winckler. 



eingeführt werden sollen. Auch hierbei findet die Voraussetzung des Art. 1 nicht statt, dass 

 die neuen Veränderlichen X, /x durch die alten x, y ganz unzweideutig bestimmt seien. Um 

 sich hiervon zu überzeugen kann man X, /x explicite durch x, y ausdrücken, was, wie man 

 sogleich bemerkt, sowohl für X als auch für/* die Auflösung einer Gleichung zweiten Grades 

 erfordert. Aber es ist zugleich auch klar, dass diese Gleichung genau dieselbe für X wie für /x 

 ist, dass mithin X und \x die beiden Wurzeln jener Gleichung sind, und dass man also hat: 



X = — j x m -j- y n + a + b + V (x m -+- y H + a + bf — 4 (bx m + ay n -f ab) \ 



H = — j x'" 4- y" + a + b T V (x'" -+- y n -f a + 6) 2 — 4 (Ax™ + oy" + 06) j 



wo die Doppel-Zeichen correspondirende sind. 



Es ist nun aber von Interesse die Grenzen zu kennen, zwischen welchen diese Wurzeln 

 gleichzeitig liegen, wenn man, wie dies die Aufgabe verlangt, x und y als positive und 

 reelle Grössen voraussetzt. 



Leichter als aus den angeführten Wurzelausdrücken lässt sich diese Frage auf folgendem 

 Wege beantworten. 



In den Gleichungen 



x = 



(X — a) (ß - o) / ; 

 a — b J 



kann man, ohne der Allgemeinheit zu schaden, annehmen, es seien die als positiv voraus- 

 gesetzten Grössen a und b so beschaffen, dass a^> b, folglich a — b positiv ist. 



Alsdann lassen sich drei Intervalle unterscheiden, zwischen welchen X liegen kann; 

 die entsprechenden Intervalle von /z lassen sich wie folgt finden. 



Es sei zunächst X > a >> b so ist X — a und X — b positiv; es kann daher x unter 

 allen Umständen nur dann reell und positiv bleiben, wenn /i — a negativ, oder also /i < a 

 ist. Damit ferner auch y reell und positiv bleibe, muss /i — b positiv, folglich ji >> b sein. 



Nimmt man ferner an, es sei a > X > b so ergibt sich durch dasselbe Raisonnement 

 dass n > a und /z > b sein müsse. 



Nimmt man endlich den letzten noch möglichen Fall an, dass a > b > X, dann könnte 

 x offenbar nur reell und positiv sein, wenn /i — a positiv, folglich jx > a wäre, während y 

 unter derselben Voraussetzung nur dann reell und positiv sein könnte, wenn /x — b negativ, 

 folglich /x <C b wäre. Wäre nun aber /j. > a und /x <C b so müsste auch b > a sein, was 

 gegen die Voraussetzung ist. Es sind also nur die beiden zuerst betrachteten Fälle möglich, 

 und es folgt hieraus, dass 



entweder X ;> a > b und gleichzeitig a > /i > b (1) 



oder a >> X > b und gleichzeitig /x > a ;> b (2) 



sein muss, womit die Grenzen der Wurzeln jener quadratischen Gleichung gegeben sind. 



Da sowohl x als y durchaus symmetrische Functionen von X und /x sind, so ist das 

 Bereich der Werthe, welche x und y durchlaufen, dasselbe, ob man sich X und /x in den 

 Intervallen (1) oder in jenen (2) bewegen lässt. Daraus folgt, dass bei Bestimmung der 



