Allgemeine Transformation der bestimmte?! Doppel-Integrale. 187 



Integrations-Grenzen bezüglich der neuen Veränderlichen nur entweder die Intervalle (1) 

 oder nur jene (2) berücksichtigt werden dürfen, in keinem Falle aber die beiden zugleich. 



Welches der Intervalle (1), (2) man wähle, ist an und für sich ganz gleichgültig. Wenn 

 man aber, wie es seither gehalten wurde, bezüglich der Aufeinanderfolge der Integrationen 

 nach den neuen Veränderlichen, bereits eine feste Ordnung gewählt hat, so übt jene Wahl 

 auf die Form des transformirten Integrals einen wesentlich bestimmenden Einflnss aus. Dieser 

 Umstand verdient eine etwas nähere Ausführung, und ich werde daher, immer unter der 

 seitherigen Annahme, dass zuerst nach /z und erst dann nach X integrirt werde, die beiden 

 Fälle (1), (2) nach einander betrachten. 



45. 



Aus der Grenzbedingung: 



folo-t 



ö" 



e = o , 9 °(x) = o 



ß-b 



^=Va — a , <p l (x) == 1/ ' -Va-a-r 



y a — a 



Unter der durchaus festzuhaltenden Annahme, dass 



« > ß > a > b 

 werde ich nun den ersten der im vorigen Artikel unterschiedenen Fälle näher betrachten, in 

 welchem nämlich 



X^> a ;> b und zugleich a > ji > b 



ist. Vor Allem handelt es sich dann um die Werthe /i , /*,, fi°, /i\ 

 Nach Art. 1 findet man nun 



fi aus der Gleichung (X — ■ a) (/i — a) = 0, so dass /i = a 



jUj aus der Gleichung (X — a) (/x — a) = (b — a) (a — a) also /ij = a t — — 



wobei, wie man sich sogleich überzeugt, /j, > b bleibt, so lange man X > a nimmt. Sofort 

 erhält man: 



ß" aus der Gleichung (X — b) (ji — b) = 0, so dass /x° =. b 



H 1 aus der Gleichung (X — b) (p. — b) — (a — b) (ß — b) + (X — a) (u — a) 



a — a 



woraus sich ergibt: 



(a — a)(a — b)(X—ß) , (ß — b) (a - b) (et - k) 



fi = a — — — — - — = b + 



k (« — ß — a + b) + aß — ab k(x— ß — a + b) + aß — ab 



Hier muss nun untersucht werden, für welches Intervall von Werthen der Veränder- 

 lichen X der Werth von /z 1 in der That zwischen a und b liegt. Dieses aber lässt sich ent- 

 scheiden, wenn man bestimmt, zwischen welchen Werthen X liegen müsse, damit die Brüche 

 in den beiden Darstellungen von ji positiv bleiben. Zu diesem Zwecke bemerke man, dass 

 der Ausdruck im Nenner X (oc — ß — a -j- b) -f- aß — ab stets positiv bleibt, so lange X 



