188 Anton Winckler. 



zwischen den äussersten Werthen a und b der Ungleichheit a > ß ;> a >• b enthalten bleibt. 

 In der That erhält man den Werth (a — a) (a — ß) für X = <z und ebenso erhält man den 

 Werth (/? — b) (a — b) für X = b. Da nun der gedachte Ausdruck linear ist, so leuchtet die 

 Richtigkeit des Behaupteten von selbst ein. 



Untersucht man nun auch den Zähler jener Brüche, so ist klar, dass das Zeichen des 

 einen nur von dem Factor X — ß abhängt, dass also der ganze Bruch positiv bleibt, so lange 

 X > ß ist. Eben so zeigt sich, dass der zweite Bruch nur so lange positiv bleibt, als X > a ist. 



Daraus folgt als Resultat: 

 Es ist: a > /x 1 > b nur so lange als a>^>/?>a>6; 

 und der für /i 1 gefundene Ausdruck ist nur so lange giltig als jenes der Fall bleibt. 



Es ist kaum nöthig zu bemerken, dass diese Einschränkungen aus den beiden zu Grunde 

 gelegten Bedingungen A > a > b , a~^> /x > b und der Grenzbedingung des Doppel-Inte- 

 grals hervorgegangen sind. 



Auf diese Ergebnisse gestützt sind nun auch die Werthe von X °, X*, XJ, X" zu bestimmen. 

 Mit Rücksicht auf die Gleichungen des Art. 1 erhält man A ° aus den beiden Gleichungen: 



(X — a) — a) = , (X — b) (jt — b) = 



welchen gleichzeitig genügt wird, wenn man 



V = a , /i ° = b 



setzt. Zwar würden auch die Werthe X ° = b, /x rt u = a genügen; sie sind aber nicht zulässig, 

 weil sonst, entgegen der frühern Voraussetzung, X unter a zu liegen käme. 

 Ferner findet man X^ aus den Gleichungen : 



(X — a) (/i — a) = (b — a) (a — a) 

 (« — a) (X — b) (ß — b) = (a — a) (ß — b) (a — b) + (X — a) (fi — a) (ß — b) 



Da die letztere Gleichung sich einfach durch die folgende (X — 6) (fi — J) = ersetzen 

 lässt, so folgt, dass den beiden Gleichungen durch die Werthe 



V = o , 1h 1 = b 



entsprochen werden kann. Zwar geschieht dies auch, wenn man A/ = b, /x/ = a setzt; da 

 aber hierbei Werthe von X vorkämen, welche kleiner als a wären, so würde man mit der 

 zu Grunde liegenden Voraussetzung in Widerspruch gerathen. 

 Für Xq 1 hat man die beiden Gleichungen 



(X — ■ a) (jx — a) = 

 (a — a) (X — b) (/x — b) = (a — a) (ß — b) (a — b) + (X — a) (ß — a) (ß — b) 



Wie man leicht bemerkt, kann die letztere Gleichung durch (X — b) (fx — b) = (ß — b) (a — b) 

 ersetzt werden, so dass die Werthe 



V = ß , /x,, 1 = a 



als entsprechend erscheinen. Auch das Paar V = a, Hq = ß genügt jenen Gleichungen, 

 aber es ist dennoch auszuschliessen, weil darin ein Werth von /x -vorkommt, welcher grösser 

 als a, nämlich = ß ist, was der Voraussetzung widerspricht. 

 Endlich hat man für X° die Gleichungen : 



(X — b) (fi — b) = , (jl — a) (p — a) = (b - a) (a — d) 



