Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 189 



welchen durch die Werthe: 



A» = a , n« = b 



Genüge geschieht. Die beiden Werthe V = b, fi? == a, welche ebenfalls genügen, sind 

 unzulässig, indem dabei /i über a zu liegen kommt. 



Die Substitution der so eben ermittelten Grenzwerthe in die Gleichung (IV) des Art. 17 

 liefert nun das folgende bemerkenswerthe Resultat: 



mn 



n (a — b) m + n . fff(x, y) dx dy — 

 (fi-X)f (X, Y) dp /•' r ( M - X)f(X, Y) dp 



W-"){«-ti\ m W-b){ß-b)\ n J J l{\-a){a-n)\ m [(l-ß) (p-ß) [ " 



(„_„)(„_ J) (ß-l) 

 «+■ — 



A (a — (I — a-\- 6) + a,J— «6 



wobei das Doppel-Integral linker Hand sich über alle positiven Werthe von x und y zu 

 erstrecken hat, welche der Bedingung 



x m y» 



o< + ^— h <i 



a. — a p ■ — o 

 entsprechen, und worin zur Abkürzung: 



x = ( (A-q)( A -«) \^ ^ y = p-&)(^-&y 



gesetzt wurde; dabei ist vorausgesetzt, dass a >> ß >> a > b sei. 



4G. 



In gleicher Weise werde ich nun auch den Fall (2) des Art. 44 betrachten, für welchen 

 gezeigt worden ist, dass alle möglichen Werthe von x, y erhalten werden können, wenn man 

 A, [x in den Intervallen 



a > A > b und gleichzeitig fi > a > b 



sich bewegen lässt. Sucht man, immer unter der Voraussetzung dass a > y? > a > 6, die 

 Werthe von /x , // lt /i°, /i 1 so ergibt sich auf gleiche Art wie im vorigen Artikel 



(a — b) (x — a) 



th = a j th = a -\ ; 



a ■ — / 

 wobei in der That /ij > a bleibt, so lange A -< a ist. 



Für /i" lässt sich kein Werth angeben, welcher den obigen Anforderungen entspricht 

 und für welchen gleichzeitig sowohl x als auch y positiv wäre. Indessen eliminirt die all- 

 gemeine Formel, auf welche der vorliegende Fall alsbald angewendet werden wird, von 

 selbst die fragliche Grösse jft°. 



Ferner ist: 



p = a + - 



/ (x — ß — a -\- b) -\- aß — xb 



