Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale. 191 



genügen, und wobei zur Abkürzung: 



A' 



= /_ (k - «) fr - a) V" y = g\-b)(p-b) \* 



gesetzt, und a > ß > a > b angenommen worden ist. 



Vergleicht man das Resultat dieses Artikels mit jenem des vorigen, so zeigt sich der 

 merkwürdige Umstand, dass das transformirte Integral einmal blos aus einem, und das 

 anderemal aus zwei verschiedenen Ausdrücken zusammengesetzt erscheint. Es kann daher 

 wohl die Frage entstehen, ob sich die Übereinstimmung beider Ergebnisse nachweisen lasse. 

 Die Beantwortung dieser Frage ist schon darum von Interesse, weil in ihr zugleich eine gute 

 Probe nicht nur der so eben gefundenen, sondern auch einiger früheren allgemeinen Resul- 

 tate enthalten ist. 



Es lässt sich nämlich leicht zeigen , dass die in diesem Artikel erhaltene Transformation 

 unmittelbar auf die zweigliederige des vorigen Artikels führt, wenn man einfach (im Sinne 

 des Art, 25 begründeten Satzes) die Integrationsfolge umkehrt, und sich hierzu der Formel (2) 

 des Art. 25 bedient, vermöge welcher man hat: 



JdxJf(X,fi)dti 



fdX ff (X, fi) dX + fdfi ff (X, ix) dX + fdfi ff (X, ,x) dX 



worin X = <p ( } (jx) aus der Gleichung \x — <p°(X) 

 und X = (p x (jx) aus der Gleichung jx = <f l (X) 



abzuleiten ist. In dem vorliegenden Fall ist zu setzen 



(oL — a)(a — b)(ß — i) 



I)araus erhält man also : <p l (X ) = <p x (X^ = a und 



(a — a) (a — b) (ß — u) 



Setzt man zur Abkürzung: 

 F (X, ,x) 



so hat man also: 



/(*, Y ) 



ß-a)(a- M )] '" [(X - b) ( ß - bjl "" 



JdX f(jx - X) . F(X, ,x) dfi = fdfi f{fi—X) F(X, fi) dl + Jd/x f(ti - X) F (X, ,x) dX 



a jt»(A) 'et f>{n) ß a 



Wenn man nun in den beiden rechts stehenden Integralen die Veränderlichen X und \x 

 mit einander vertauscht und bemerkt, dass hierdurch F (X, /x) als durchaus symmetrische 

 Function von X und ;x sich nicht ändert, während der andere Factor (/x — X) als alternirende 



