196 Anton Winckler. 



So wie die vom Art. 43 an entwickelten Resultate sich auf die Substitutions-Gleichungen 



m « 



: + -z^—z - 1 



X 1 — a l' — b° 



V 



fj. — a n — b 



gründen, so lässt sich eine Reihe nicht minder interessanter Resultate erlangen, wenn man 

 die Transformation mittelst der Gleichungen: 



X — a fi — ß 



oder mittelst der hiervon wesentlich verschiedenen: 



= 1 



bewirkt. Eben so sind die Ergebnisse von besonderm Interesse, welche der Transformation 

 mittelst der Beziehungen: 



x = (ae rX -•- be 8,c f 



y z= (ae rX + /9e s ") n 

 entsprechen. U. s. w. 



Die nähere Ausführung dieser Fälle würde jedoch hier den Raum zu sehr in Anspruch 

 nehmen, kann aber um so eher einer andern Gelegenheit vorbehalten bleiben, als der Zweck 

 aller früheren Speciali täten hauptsächlich darin bestand, die Bedeutung und den Nutzen des 

 allgemeinen Satzes über die Transformation so wie die Art seiner Anwendung in gegebenen 

 Fällen darzulegen. 



49. 



Den Beschluss der vorliegenden Arbeit möge die Begründung eines sehr allgemeinen, 

 und wie es scheint, für die Theorie der bestimmten Integrale nicht unwichtigen Verfahrens 

 bilden. Wie bekannt, gewinnt jene Theorie einen grossen Theil ihrer Resultate aus der 

 Betrachtung doppelter Integrale mit constanten Grenzen, welche sie in den beiden Arten der 

 Integrationsfolge jedesmal auf Quadraturen zu reduciren oder so weit möglich, vollständig 

 zu bestimmen sucht. Wenn aber weder bei der einen noch bei der andern Folge der Inte- 

 grationen eine solche Reduction möglich ist und sich also auf diesem Wege nichts erreichen 

 lässt, so kann doch in manchen Fällen eine andere Methode wirksam sein, welche in der 

 Transformation des Doppel-Integrals durch zwei neue Veränderliche besteht und welche ich 

 in Kürze hier bezeichnen will. Wenn, wie bisher, der Zusammenhang zwischen den alten 

 und neuen Veränderlichen durch die Gleichungen : 



