Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel- Integrale. 197 



und daraus abgeleitet, durch : 



gegeben ist. und wenn aus der Gleichung 



Xß, ß) = £d der Werth ll = fi 

 X$, ß) = Ci - r P — Pi 



Yß, # = Vo •• -»..,/» = /*° 

 berechnet wird, so hat man zufolge der Gleichung (XII) des Art. 23: 



I dx I f(x,y) dy = 



| <2A /7(X, Y)bdii + f dX ff (X, Y) Ad/x + f dX ff (X, 7) A ^ 



.<!(?„. 1,) V •'(?,- ?i) /'•! 4(fy ro) V 



wobei, wie bisher: 



_ dX dY dX dY 

 d(i dl dl dfj. 



Hierdurch ist das bemerkte Verfahren im Wesentlichen gegeben. 



Die folgende Umformung der Gleichung aber verdient näher berührt zu werden. Man 

 setze nämlich den Ausdruck: 



{ Ty • ST - S ' lj \ f (X> y) '^ diG St6lle V ° n /{X > V) 

 und bemerke, dass der alsdann auf der ersten Seite der Gleichung vorkommende Ausdruck: 



dA dM dA dM)ldX dY dX dY\ 



dy dx dx dy j ^ d/i dl dl d/i ) 



nach der Lehre von den Determinanten gleich der Einheit ist, so dass sich die Function unter 

 den Integralzeichen, bezüglich X und /x, auf/" (X, Y) reducirt, dass folglich auch : 



f'dx f'ffx v )\ d A d Jl_ d A ™\dy- 

 J dX J J^y>\ dy • dx dx' dy\ V 



•1(«n li\) lh -H?„r ) Ho -((Co, W N 



J dX ff(X, Y)dLi+J dX ff(X, Y)d/i + f dX ff(X, Y) dfx 



Setzt man z. ß. hierin 



/ ( x i y) = 1 

 so lässt sich das Doppel-Integral auf der ersten Seite der Gleichung unmittelbar auf zwei 

 Quadraturen bringen, wenn man von der folgenden Bemerkung ausgeht. Es findet nämlich, 

 wie man sich direct durch Differentiiren überzeugen kann, identisch die folgende Gleichung 

 statt: 



dAdM dM dA _ 1 . j d [ A ^~ M ^] d \_ M Ty- Ä ^i\ 

 dy dx dy dx 2 ( dy dx 



