228 G. W. Strauch. 



Eine Katakaustika ist, wie gesagt, diejenige Brennlinie, welche entsteht, wenn die von 

 einer Curve (Reflexions-Curve genannt) zurückgeworfenen Lichtstrahlen sich in stetig auf- 

 einander folgenden Punkten schneiden. Wenn man nun in den Punkt der Reflexions-Curve, wo 

 ein Lichtstrahl eintrifft und zurückgeworfen wird, die Normale zieht, so heisst der vom ein- 

 treffenden Lichtstrahle und von der Normale gebildete Winkel der Einfallswinkel, 

 dagegen wird der vom zurückgeworfenen Lichtstrahle und von der Normale gebildete Winkel 

 der Ausfalls winkel genannt. Bei jeder Lichtreflexion besteht aber das Gesetz, dass der 

 Ausfallswinkel gleich ist dem Einfallswink el; und mit Hülfe dieses Gesetzes kann 

 man zu jeder vorgeschriebenen Reflexions-Curve die zugehörige Katakaustika aufsuchen. 



Sind nämlich die ursprünglichen Lichtstrahlen alle mit einander parallel; so richte man 

 das Coordinatensystem der vorgeschriebenen Reflexions-Curve so ein, dass ihre Abscissenaxe 

 mit den Lichtstrahlen ebenfalls parallel ist. Kommen aber die ursprünglichen Lichtstrahlen 

 alle von einem leuchtenden Punkte her; so richte man das Coordinatensystem der vor- 

 geschriebenen Reflexions-Curve so ein, dass ihre Abscissenaxe durch den leuchtenden Punkt 

 geht. Bei solcher Einrichtung sei 



1) F{x,y) = 



die auf ein rechtwinkeliges Coordinatensystem bezogene Gleichung der vorgeschriebenen 

 Reflexions-Curve; und wenn man mit f. und r; die auf dasselbe System bezogenen Coordinaten 

 der gesuchten Katakaustika bezeichnet, so gelangt man bekanntlich zu folgenden Gleichungen: 



2) r = x + {u—p) . £ 

 und 



3 ) 9 = y + u • («— p) • i 



Hier ist p das gebräuchliche Abkürzungszeichen statt -j-, und u bedeutet die gonio- 

 metrische Tangente des vom zurückgeworfenen Lichtstrahle und von der Abscissenaxe gebil- 

 deten Winkels. Wenn nun die ursprünglichen Lichtstrahlen mit einander parallel sind, so ist 



•-••/■ 



4) u 



wenn die ursprünglichen Lichtstrahlen aber von einem leuchtenden Punkte herkommen, so ist 



5) u = 2Jx - g) - p - 



.y.p -t- (.r-rj) (1— p-) 



wo g die feste Abscisse des leuchtenden Punktes bedeutet. 



Wenn man jetzt die der vorgeschriebenen Reflexions-Curve zugehörige Gleichung 

 F(x,y) = zweimal differentiirt, und sodann die zwei sich ergebenden Differentialgleichun- 

 gen mit 1), 2), 3) verbindet; so hat man fünf Gleichungen, aus welchen man die vier Bestand- 

 theile x, y, ~, ~ eliminiren muss. Dadurch ergibt sich eine zwischen r. und t) bestehende 

 neue Gleichung 



6) 8(M) = 



wodurch die gesuchte Katakaustika bestimmt ist ; und man erkennt , dass zur Bestimmung 

 einer Katakaustika keine Integration nöthig ist. 



