Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 229 



§• 3. 



Eine Diakaustika ist (§. 1) diejenige Brennlinie, welche entsteht, wenn Lichtstrahlen 

 durch eine Curve (Refractions-Curve genannt) hindurchgehen, und bei ihrem Durchgange so 

 von ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt werden, dass sie sich hierauf in stetig aufein- 

 ander folgenden Punkten schneiden. Wenn man nun in den Punkt der Refractions-Curve, wo 

 ein Lichtstrahl durchgeht und gebrochen wird, die Normale zieht, und auch die ursprüngliche 

 Richtung des Lichtstrahles verlängert; so heisst der vom eintreffendenLiehtstrahle und von der 

 Normale gebildete Winkel der Einfallswinkel, der vom gebrochenen Lichtstrahle und 

 von der Normale gebildete Winkel heisst der Brechungswinkel, und der von der Ver- 

 längerung des ursprünglichen Lichtstrahles und vom gebrochenen Lichtstrahle gebildete 

 Winkel heisst der Ablenkungswinkel. Bei jeder Lichtrefraction besteht aber das Gesetz, 

 dass im ganzen Verlaufe der Refractions-Curve das Verhältniss, in welchem 

 der Sinus des Einfallswinkels und der Sinus des Brechungswinkels zu ein- 

 ander stehen, constant bleibt. Ist also tj der Einfallswinkel, und w der Brechungs- 

 winkel; so muss sich zwischen ihnen, wie sie sich auch immer ändern mögen, die Gleichung 



7) ^ = X 



' sin u> 



stattfinden, wo der Werth des A, wie gesagt, constant ist, und das Brechungsverhältniss 

 genannt wird. 



Mit Hülfe dieses Gesetzes kann man zu jeder vorgeschriebenen Refractions-Curve die 

 zugehörige Diakaustika aufsuchen. 



Sind nämlich die ursprünglichen Lichtstrahlen alle mit einander parallel; so richte man 

 das Coordinatensystem der vorgeschriebenen Refractions-Curve so ein, dass ihre Abscissenaxe 

 mit den Lichtstrahlen ebenfalls parallel ist. Kommen aber die ursprünglichen Lichtstrahlen 

 alle von einem leuchtenden Punkte her; so richte man das Coordinatensystem der vor- 

 geschriebenen Refractionscurve so ein, dass ihre Abscissenaxe durch den leuchtenden Punkt 

 geht. Bei solcher Einrichtung sei 



8) F{x,y) = Q 



die auf ein rechtwinkeliges Coordinatensystem bezogene Gleichung der vorgeschriebenen 

 Refractions-Curve; und wenn man mit r. und t) die auf dasselbe System bezogenen Coordinaten 

 der gesuchten Diakaustika bezeichnet, so gelangt man bekanntlich zu folgenden Gleichungen: 



9) je = * + (»+*).-£ 

 und 



io) *=*-*■ (»+*).-£ 



Hier ist p wiederum das gebräuchliche Abkürzungszeichen statt ~, und v bedeutet die 

 goniometrische Tangente des vom gebrochenen Lichtstrahle und von der Abscissenaxe gebil- 

 deten Winkels. Wenn nun die ursprünglichen Lichtstrahlen mit einander parallel sind, so ist 



11) v— p + W-(i+p 2 > 



i-p-m(i-t-i> 2 )-i 



