230 G. W. Strauch. 



wenn die ursprünglichen Lichtstrahlen aber von einem leuchtenden Punkte herkommen, so ist 



12) ü 



+■ ((*-*)+*•*) +^-y^ ■((«?!-# + y 2 )-(i+i>»)i-((*-- g) + y-i'T 

 wo ^ die feste Abscisse des leuchtenden Punktes bedeutet. 



Wenn man jetzt die der vorgeschriebenen Refractions-Curve zugehörige .Gleichung 

 F(x, y) = zweimal differentiirt, und dann die zwei sich ergebenden Differentialgleichungen 

 mit 8), 9), 10) verbindet,- so hat man fünf Gleichungen, aus welchen man die vier Bestand- 

 teile x, y, — -, -=-f eliminiren muss. Dadurch ergibt sich eine zwischen r. und i) bestehende 

 neue Gleichung 



13) g(r,t ? ) = 



wodurch die gesuchte Diakaustika bestimmt ist; und man erkennt, dass man auch zur Bestim- 

 mung einer Diakaustika keine Integration nöthig hat. 



Zusatz. Die diakaustischen Resultate gehen alle, wenn man A = — 1 setzt, in die 

 katakaustischen über. Gleichung 11) geht nämlich über in 



p+p 2.71 



1 — p' 2 1 — p* 



und ebenso geht Gleichung 12) über in 



— (■(•»—: 1) + y -p) -p +V {y — (*— g)-pf 2.fa— g).p — y . (i-p 3 ) 



+({*-9) + y.p)+p.V(y-(*-9).pf 2-** + (*-*)• U-**) 



Wenn man also A = — 1 setzt, so wird v = — u, und dabei wird dv = — du] und wenn 

 man — u und — du bezüglich statt v und dv in die Gleichungen 9) und 10) setzt, so bekommt 

 man wieder die Gleichungen 2) und 3). 



§• 4- 



Jetzt kann man das Problem der Brennlinien auch umkehren, d. h. man kann auch die 

 Brennlinien vorschreiben, und die zugehörige Reflexions- oder Refractions-Curve aufsuchen. 

 Wenn nämlich durch die Gleichung 



14) S(r ; !?) = 



eine bestimmte Curve als Katakaustika oder Diakaustika vorgeschrieben ist, und man die 

 zugehörige Reflexions- oder Refractions-Curve sucht; so hat man weiter nichts zu thun, als 

 statt £ und t) die betreffenden Ausdrücke in 14) zu substituiren. Dadurch ergibt sich eine 

 Differentialgleichung der zweiten Ordnung, deren allgemeines Urintegral mit zwei Integration s- 

 Constanten versehen sein muss. Durch ein mit zwei Integrations-Constanten versehenes Ur- 

 integral sind aber jedesmal unendlich viele Curven-Schaaren dargestellt. Es ist jedoch, wie 

 später nachgewiesen werden wird, keine einzige von allen diesen Curven so beschaffen, dass 

 sie mehr als einen einzigen Punkt der vorgeschriebenen Brennlinien erzeugen könnte. Dess- 

 halb muss man sich noch umschauen, ob von den durch das allgemeine Urintegral dargestellten 

 unendlich vielen Curven-Schaaren auch Gränz-Curven erzeugt werden; und diese sind alsdann 

 die gesuchten Reflexions- oder Refractions-Curven. Die Gränz-Curven selbst sind aber von 



