Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 231 



zweierlei Art, je nachdem sie mit ihren Erzeugungs-Curven eine Berührung von ungrader 

 oder eine Berührung von grader Ordnung eingehen. 



Wenn eine Gränz-Curve mit ihren Erzeugungs-Curven eine Berührung ungrader Ord- 

 nung eingeht, dann liegen die Erzeugungs-Curven mit allen ihren Punkten auf der nämlichen 

 Seite der Gränz-Curve; und desshalb wird jede Gränz-Curve ungrader Ordnung eine einhül- 

 lende oder umfangende Curve, und die Erzeugungs-Curven selbst werden die eingehüll- 

 ten oder umfangenen Curven genannt. 



Wenn aber eine Gränz-Curve mit ihren Erzeugungs-Curven eine Berührung grader 

 Ordnung eingeht, dann wird die Gränz-Curve von den Erzeugungs-Curven im Berührungs- 

 punkte geschnitten; und desshalb kommt einer Gränz-Curve grader Ordnung nicht die Eigen- 

 schaft einer einhüllenden Curve zu. 



Weil nun die gesuchten Refiexions- und Refractions-Curven jedesmal einer Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung geniigen müssen, so müssen dieselben auch Gränz-Curven der 

 zweiten Ordnung sein, während die zugehörigen Brennlinien, wie schon (in §. 1) auseinander 

 gesetzt wurde, nur Gränz-Curven der ersten Ordnung sind. 



Das Problem der Brennlinien ist also dem Evolutionsproblem analog; denn auch die 

 Evolventen sind Gränz-Curven der zweiten, und die Evoluten sind Gränz-Curven der ersten 

 Ordnung. 



S c h 1 u s s der Einleitung-. 



Die Keflexions- und Refractions-Curven werden, wie man später sehen wird, durch ein- 

 fach singulare Integrale dargestellt. Man kann aber die einfach singulären Integrale, 

 welche den Total- Differentialgleichungen zweiter Ordnung angehören, jedesmal durch 

 drei verschiedene Hülfsmittel aufsuchen; nämlich: 



1. mittels des (mit zwei Integrations-Constanten versehenen) allgemeinen Urintegrals; 



2. mittels einer jeden der (mit nur einem Integrations-Constanten versehenen) zwei ersten 

 Stammgleichungen; und 



3. mittels der ursprünglichen Total-Differentialgleichung zweiter Ordnung. 



So verschieden aber auch die Formen der durch diese dreierlei Hülfsmittel erlaubten 

 Resultate sein mögen, so sind doch die allen diesen Formen entsprechenden Resultate ihrem 

 Wesen nach ganz gleichbedeutend, und jedesmal kann die eine Form in die andere umgesetzt 

 werden. 



Schaut man nun vorwärts auf die Gleichungen 44), 177), 229), 373), wo sich diejenigen 

 Formen befinden, welche für die einfach singulären Integrale aus dem allgemeinen Urintegral 

 gewonnen werden; so erkennt man, dass ich mein Problem auf eine einfache Rectification der 

 vorgeschriebenen Katakaustika oder Diakaustika zurückgeführt habe. Die Einfachheit und 

 Allgemeinheit meiner Lösung lässt also nichts zu wünschen übrig. 



Um jetzt die vorliegende Abhandlung systematisch durchzuführen, mag sie in zwei 

 Abtheilungen gebracht werden, deren erste sich mit Bestimmung der Reflexions-Curven, und 

 deren zweite sich mit Bestimmung der Refractions-Curven befasst. Jede dieser beiden Abthei- 

 lungen zerfällt aber von selbst wieder in zwei Abschnitte, je nachdem die urspünglichen Licht- 

 strahlen mit einander parallel sind, oder von einem leuchtenden Punkte herkommen. 



