Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 233 



Hiermit hat man eine erste Stammgleichung, welche jetzt, nachdem der Integrations-Constante 

 A den besonderen Werth b angenommen hat, wirklich so beschaffen ist, dass sie den beiden 

 Differentialgleichungen 15) und 16) zugleich genügt. 



Um aber die Aufgabe weiter durchführen zu können, muss man für u den Ausdruck 4) 

 zurückführen; und dabei geht 19) über in 



20) (y-l)) . f + 2 . (x-q) . p = (y— $) 



Man multiplicire bei dieser Gleichung alle Theilsätze mit (y — b), und addire sodann beider- 

 seits das Quadrat (x — g) 3 ; so bekommt man 



((y— W -p + (»— s)) 2 = {y— W + ( x — g) s 



oder 



+ (>/—h)-p + (x— g) __ ^ 



Daraus folgt durch Integration 



21) ± V(y-W 4- (z-g) ä = x + E 

 oder 



22) (y-W = 2.(Q + E).[x-«=^) 



Das Urintegral ist also diesmal nur mit einem und nicht mit zwei Integrations-Constanten 

 versehen; denn der erste Integrations-Constante A hat, damit den beiden Differential- 

 gleichungen 15) und 16) zugleich genügt wird, den besonderen Werth f) angenommen. 



Die durch 22) dargestellte Curvenreihe besteht aus konischen Parabeln, deren Parameter 

 = 2 . (g -f E) ist , deren Scheitel bestimmt wird durch y = b und x = ^^-, und deren Haupt- 

 ase in der Entfernung y = l) mit der Abscissenaxe parallel läuft. Nun ist bei jeder konischen 

 Parabel die Brennweite gleich dem vierten Theile des Parameters, d. h. gleich -^i— ; und somit 

 ist £^— 4- £t_ oder g die Entfernung des Brennpunktes von der Ordinatenaxe. Alle durch 

 22) dargestellten unendlich vielen Parabeln haben also den durch die festen Coordinaten 

 g und h vorgeschriebenen Brennpunkt mit einander gemein, d. h. von allen diesen unendlich 

 vielen Parabeln werden die Lichtstrahlen, welche in einer mit der Hauptaxe parallelen 

 Richtung eintreffen, nach einem und demselben Brennpunkte (g, b) reflectirt. 



§.6. 



Man sucht diejenige Reflexions-Curve, bei welcher die parallel auf sie einfallenden 

 Lichtstrahlen so zurückgeworfen werden , dass ihr eine bestimmt vorgeschriebene Curve als 

 Katakaustika zukommt. 



Auch hier richte man das Coordinatensystem so ein, dass die Abscissenaxe mit den Licht- 

 strahlen parallel läuft; und wenn sich dann für die vorgeschriebene Katakaustika die bestimmte 

 Gleichung 



23) g (r, $ = 



ergibt, so hat man für £ und t) die Ausdrücke 2) und 3) einzuführen, und man bekommt für 

 die gesuchte Reflexions-Curve folgende Differentialgleichung der zweiten Ordnung: 



24) g j(* + (u-p) .£),(* + «■ (u-p) • £)) = ° 



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