Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 235 



Mit dieser Gleichung verfahre man jetzt weiter, wie im vorigen Paragraph mit Gleichun«- 

 20) ; so bekommt man das Urintegral 



35) ± V{y—Bf + (x — Af = x + E 



Hier erscheinen sogar drei Integrations- Constanten A, B, E, während die vorgelegte 

 Differentialgleichung 24) nur eine von der zweiten Ordnung ist. Weil jedoch A und B in der 

 durch 32) ausgesprochenen Abhängigkeit zu einander stehen, so kann man entweder A oder 

 B eliminiren, und eine Urgleichung mit nur zwei Integrations-Constanten herstellen. 



Vergleicht man jetzt die Gleichungen 23) und 32) mit einander, so erkennt man, dass 

 zwischen A und B dieselbe Relation stattfindet, wie zwischen r. und t). Man kann also statt 

 der Integrations-Constanten A und B auch die zur vorgeschriebenen Katakaustika gehörigen 

 Coordinaten je und t) setzen; und dabei geht 35) über in 



36) ± \/{y— $* + (x-tf = x + E 

 oder, wenn man umformt, in 



37) (y-t ) y = 2.(! + E).(x-^) 



Alle hierdurch dargestellten unendlich vielen Curven-Schaaren bestehen sonach aus konischen 

 Parabeln, deren Parameter = 2 . ():-\-E) sind, deren Scheitel bestimmt werden durch y = \) 

 und x = -t— , und deren Hauptaxen in der Entfernung y = t) mit der allen durch 37) dar- 

 gestellten Parabeln gemeinschaftlichen Abscissenaxe parallel laufen. Nun ist bei jeder 

 konischen Parabel die Brennweite gleich dem vierten Theile des Parameters, d. h. gleich 



—^—; und somit ist k — 1- ^— oder r. die Entfernung des Brennpunktes von der Ordinatenaxe, 



und der Brennpunkt selbst hat die Coordinaten je und t) , d. h. alle Brennpunkte der hier 

 gefundenen unendlich vielen Parabel-Schaaren liegen in der vorgeschriebenen Katakaustika. 



Es trifft sich, wie am Schlüsse des §. 5 auseinandergesetzt ist, bei jeder konischen 

 Parabel, dass, sobald die Lichtstrahlen parallel mit der Hauptaxe auffallen, die Katakaustika 

 sich in den Brennpunkt zusammenzieht. Wählt man also im Umfange der vorgeschriebenen 

 Katakaustika irgend einen Punkt, und zieht man durch diesen eine mit den Lichtstrahlen 

 parallele Grade; so sind alle unendlich vielen konischen Parabeln, denen der eben besagte 

 Punkt als Brennpunkt und die eben besagte Grade als Hauptaxe zukommt, so beschaffen, 

 dass sie die mit der Hauptaxe parallel eintreffenden Lichtstrahlen nach dem (im Umfange 

 der vorgeschriebenen Katakaustika) gewählten Punkte reflectiren. Geht man zu einem 

 zweiten (unmittelbar anliegenden) Punkte im Umfange der vorgeschriebenen Katakaustika 

 über, und zieht man durch diesen zweiten Punkt wiederum eine mit den Lichtstrahlen 

 parallele Grade; so sind alle unendlich vielen konischen Parabeln, denen dieser zweite 

 Punkt als Brennpunkt und diese zweite Grade als Hauptaxe zukommt, ebenfalls so beschaf- 

 fen, dass sie die mit der Hauptaxe parallel eintreffenden Lichtstrahlen nach dem (im Umfange 

 der vorgeschriebenen Katakaustika) gewählten zweiten Punkte reflectiren. Und so fort. 



Desshalb ist unter den gefundenen Parabeln keine einzige im Stande, von der vor- 

 geschriebenen Katakaustika mehr als einen Punkt zu erzeugen, d. h. keine einzige dieser 

 Parabeln ist die gesuchte Reflexions-Curve. Man muss daher untersuchen, ob unter diesen 

 unendlich vielen Parabel-Schaaren solche Reihen stetig nebeneinander liegender Parabeln vor- 

 kommen, die sich so schneiden, dass die dadurch entstandenen Durchschnittslinien auch noch 



