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der vorgelegten Differentialgleichung 24) genügen. Weil aber diese Differentialgleichung 

 eine der zweiten Ordnung ist, so muss jede Durchschnittslinie (§.4) eine solche Gränz-Curve 

 sein welche in allen ihren Punkten mit irgend einer der sich schneidenden Parabeln eine 

 Berührung der zweiten Ordnung eingeht. Die Gränz-Curven der zweiten Ordnung werden 

 aber, wie in der analytischen Geometrie noch näher nachgewiesen werden muss, durch das 

 einfach singulare 1 ) Urintegral dargestellt; und dieses kann bekanntlich auf drei ver- 

 schiedenen Wegen ermittelt werden. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Urintegral aus dem allgemeinen 

 ableiten will, so ist dessen in Gleichung 36) aufgestellte Form die bequemste. Nun beachte 

 man, dass die Integrations-Constanten von x und von y unabhängig sind bei allen sich schnei- 

 denden Parabeln; und wenn man in dieser Beziehung die Gleichung 36) differentiirt, so 

 bekommt man 



ggN dy_ _ — (a-s ) + V( y-W + (*~S) 2 



dx ~ (</—[;) 



Dagegen müssen die Integrations-Constanten Functionen von x sein bei allen Gränz-Curven; 

 und wenn man in dieser Beziehung die Gleichung 36) nach allem x differentiirt, so bekommt 

 man weiter 



dy_ - (»-S) ± lAy-O) 8 + {*-lf (V-V-Tx + fo-S) d L t/fa-';) 2 + (x-l? dE 



39 ) ~dx~ ~ (y-D) + (y-D) ' dx ~ (y-») ' dx 



Damit aber aus 38) und 39) sich für -^- zwei ebenförmige Ausdrücke ergeben können, muss 

 die Gleichung 



40) (GMÖ • t + (*-?)) • f ± (V(y-W + (*-*) 2 ) . f = o 



stattfinden. Differentiirt man die Gleichung 38) noch einmal sowohl nach allem explicit als 

 auch nach allem implicit in ?/, r., t) enthaltenen x\ so bekommt man neben der Gleichung 40) 

 auch noch 



41) ((x-r) + \{y-^\{x-ff) . ((2/-b) - (x-r) ■ "Ä) . Ä = 



Daraus kann aber nur folgen 



42) Q/-b) - {x-f) . ■£- = 



und hiermit wird diejenige Grade dargestellt, welche durch den Punkt (x,y) der gesuchten 

 Beflexions-Curve geht, und zugleich die zum Punkte (r., ty) der vorgeschriebenen Katakaustika 

 gehörige Tangente ist. Jede Katakaustika ist ja, wie schon (in §. 1) auseinandergesetzt 

 wurde, eine einhüllende Gränzcurve. 



Eliminirt man jetzt mittels 42) die Differenz (y — ty) aus 40), so fällt auch die Differenz 

 (x — r.) mit hinweg; und 40) geht über in 



(df + dtf) ± (Vdf + dtf) . dE=0 

 oder in 



(Vdf + drf) ± dE=0 



J ) Die singulären Integrale, welche einer Differentialgleichung zweiter Ordnung angehören, sind entweder einfach singulare 

 oder zweifach singulare. 



