Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 237 



Daraus folgt 



ö" 



dE = + Vdf + dtf 

 oder 



43) E = K+ (Vdf + dtf 



wo K ein Integrations-Constanter ist. Gleichung 36) geht also über in 



44) ± V{y- \tf + (x—f) 2 = x + K +ß/dfTW 

 Mit dieser Gleichung muss man aber noch folgende drei 



42) (y-*) - («-Ö . f- = 



23) S (je, t>) = 



«) f + f--| = 



verbinden, d. h. man muss die in 44) angezeigte Integration ausführen , und sodann die drei 

 Bestandtheile je, i), dt) eliminiren. Dabei fällt auch dy. mit hinweg, und es ergibt sich eine 

 Gleichung zwischen x und y und dem Integrations-Constanten K. Diese neue Gleichung ist 

 aber ein einfach singuläres Urintegral zu 24); und durch dasselbe ist, wegen des 

 Integrations-Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Reflexions-Curven dar- 

 gestellt, von welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscis- 

 senaxe auffallen , die bestimmt vorgeschriebene Katakaustika § (;c, t)) = erzeugt wird. 



Zweite Methode. Zu dem einfach singulären Integral kann man auch mittels der 

 ersten Stammgleichung gelangen. Man beachte also wiederum , dass die Integrations- 

 Constanten von x und?/ unabhängig sind bei allen sich schneidenden Parabeln; und wenn man 

 in dieser Beziehung die Gleichung 33) differentiirt, und dabei sich erinnert, dass u diesmal 

 weiter nichts als ein mit^) versehener Ausdruck ist; so bekommt man 



dp ("— p) 



46) dx — (_^).* 



s ' dp 



Dagegen müssen die Integrations-Constanten Functionen von x sein bei allen Gränz-Curven: 

 und wenn man in dieser Beziehung die Gleichung 33) nach allen x differentiirt, so bekommt 

 man weiter 



dB 



a~\ _#_ (m— P äl~ w dÄ 



Damit aber aus 46) und 47) für -j- zwei ebenförmige Ausdrücke sich ergeben können, muss 

 die Gleichung 



48) g-« = ° 



stattfinden. Nun folgt aus 32) die Differentialgleichung 



^ J J dÄ "T" dB • dA — u 



und wenn man aus den vier Gleichungen 32), 33), 48), 49) die drei Bestandtheile A, -B,-tt 

 eliminirt, so bekommt man endlich 



50) y — iL . x — (p (u) 



