238 G. W. Strauch. 



wo die Form des Ausdruckes <p (u) abhängig ist von % (A, B) = 0. Hier hat man für u noch 

 den Ausdruek -^^ zurückzuführen, und die sich ergebende Differentialgleichung erster Ord- 

 nung zu integriren. Dadurch gelangt man zu der nämlichen mit x, y und dem Integrations- 

 Constanten iT versehenen Urgleichung, wie bei der ersten Methode. 



Dritte Methode. Lässt man die Gleichung 28), d. h. die Gleichung 



2y ) Im + u • ün — u 



gelten, so hat man jetzt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung: und man muss eine 

 solche der ersten Ordnung aufsuchen, von welcher die beiden Gleichungen 24) und 28) 

 zugleich erfüllt werden. Die so aufgesuchte Differentialgleichung erster Ordnung wird aber 

 genau wieder die Gleichung 50) sein, durch deren Integration sich also auch die nämliche 

 mit x, y und dem Integrations-Constanten K versehene Urgleichung ergibt, wie bei der ersten 

 Methode. 



(Man vergleiche die dritte Methode in §. 7, §. 8, §. 9.) 



§. 7. 



Beispiel 1. Man sucht diejenige Eeflexions-Curve, bei welcher die parallel auf sie ein- 

 fallenden Lichtstrahlen so zurückgeworfen werden, dass die zugehörige Katakaustika die 

 durch folgende Gleichung 



51) tf = h . f 



vorgeschriebene semikubische Parabel ist. 



Hier bekommt man für die gesuchte Refiexions-Curve folgende Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung 



52) (y + u . (u—p) . ^f = h . [x + (u—p) . ^) 2 

 und wenn man differentiirt, so gibt sich weiter 



53) ^u.(y + u. {u - P ).^'-a.( X+ (n- P ).^.[l-t/£-(a- P ).^ = 

 Lässt man die Differentialgleichung dritter Ordnung 



gelten; so ist (nach §. 6) die den beiden Differentialgleichungen 52) und 54) zugleich genü- 

 gende Differentialgleichung erster Ordnung dargestellt durch die Verbindung der beiden 

 Gleichungen 



. 55) B* = h . A 2 



und 



56) (y—B) = (x—A) . u 



Jetzt substituire man für u den Ausdruck ■—-> in 56), so bekommt man 



(y — B) . p 1 + 2 . (x — A) .p — (y—B) 



