Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 239 



und wenn man mit dieser Gleichung weiter verfährt, wie mit Gleichung 20) in §. 5; so ist das 

 allgemeine Integral durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



57) B" = h . A 3 

 und 



58) ± V(y— Bf + (x—Af = x + E 



oder, was das nämliche ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



59) tf = h . f 

 und 



60) ± V(tf— t>) 2 + (x-tf = x + E 



dargestellt, d. h. man hat alle jene unendlich vielen Sehaaren konischer Parabeln, deren 

 Hauptaxen mit der allen diesen Parabeln gemeinschaftlichen Abscissenaxe parallel laufen, 

 und deren Brennpunkte in der durch die Gleichung \f = h . r 2 vorgeschriebenen Katakaustika 

 liegen. 



Nun sind die Reflexions - Curven als Gränz-Curven der zweiten Ordnung nicht durch 

 allgemeine, sondern durch einfach singulare Integrale darzustellen; und diese kann 

 man, wie schon im §. 6 vermerkt, auf drei verschiedenen Wegen aufsuchen. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus dem allgemeinen ab- 

 leitet, so specialisiren sich die (in §. 6 aufgestellten) zwei Gleichungen 42) und 44) diesmal in 



ei) Hi)-M--Sf = o 



und 



62) ±V'(tf—$* + (x-r-) 2 = x + K + ±.V(±M + %.py 



Nun ist 



2Ä.J _ _ 2h. f 2.^3 2.t) 



und somit setzt Gleichung 61) sich um in 



— (11 — r\ . 



3-1 



63) (y-t)) - (y-t) . -§r = ° 



Ferner ist 



V(A . U + 9 . rl) 3 = V{i-W)* + ^Y = V(^ + a-l") 



J 2 J a 



somit setzt Gleichung 62) sich um in 



64) ± V{y-t>Y + (x-tf = x + Kt ^X 7 ^ f)3 



Wemi man zuerst die Differenz (y — ty), und hierauf die Differenz (x — r.) aus 63) und aus 64) 

 eliminirt, so bekommt man bezüglich 



.., — 3r + Vi.f +9.jä -^ _ i.h ,/- — -£— — „ r 



65) * sr -x = K + — - . V4 . 9- 4- 9 . rr 



3J 



und 



66) -»y^" 1 -y^-g-i ± (|-^) ■ Vl.tf + t.f 



