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Durch die Verbindung der drei Gleichungen 51), 65), 66) hat man, wegen des Integrations- 

 Constanten .KT, eine Reihe stetig aufeinanderfolgender Reflexions-Curven, von welchen allen, 

 sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auffallen, die vor- 

 geschriebene Katakaustika tf = h . f erzeugt wird; und weil x und y als Functionen von 

 r. und tj ausgedrückt sind, so können alle diese Reflexions-Curven mittels der Coordinaten der 

 vorgeschriebenen Katakaustika construirt werden. 



Auch ist zu bemerken, dass, je nachdem man aus 51) und 65) entweder das r. oder das ty 

 eliminirt, im ersten Falle das ty und im zweiten Falle das je als Function von x und K 

 erscheint; und somit ist naebgewiesen, dass die Verbindung der drei Gleichungen 51), 65), 

 66) ein einfach singul'äres und nicht ein einfach particuläres Integral ist. 



Zweite Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus der ersten 

 Stammgleichung ableiten will; so muss man die zwei Gleichungen 55) und 56) zu Hülfe 

 nehmen; und dabei specialisirt sich Gleichung 50) in 



ih 1 



67) y—u 



x = 



27 



Das nächste Geschäft ist jetzt, dass man sich überzeugt, ob von der Gleichung 67) auch 

 die 52) erfüllt wird, und ob das zu 67) gehörige Integral ein einfach singuläres oder 

 ein einfach particuläres ist. Aus 67) aber folgt der Reihe nach 



68) y = u . x + w . -jf 



du 

 dz 



69) p>=zi+(x~^ .^) 



dp _ du Sh ,du}* / 8h } #u_ 



Wenn man die hier für y und p hergestellten Ausdrücke in Gleichung 52) einsetzt, so wird 

 diese identisch, d. h. Gleichung 52) wird von dem zu 67) gehörigen Integral erfüllt. Wenn 

 man ebenso die hier für p und -— hergestellten Ausdrücke in Gleichung 54) einsetzt, so redu- 

 cirt sich diese auf 



S.h du n 



Letztere Gleichung trägt aber einen Widerspruch in sich selbst; und somit ist man über- 

 zeugt, dass das zu 67) gehörige Integral wirklich ein einfach singuläres zu der vor- 

 gelegten Differentialgleichung 52) ist. Um jedoch Gleichung 67) weiter behandeln zu können; 

 muss man für u den Ausdruck ~^ zurückführen; und dabei geht 67) über in 



l_p2 • X — 27 



72) y- 



Daraus folgt durch Differentiation 



2p 2.{l+p 2 ).z dp 



1 l— i> 2 (i— p 2 ) 2 ' dx 



oder, indem man die beiden ersten Theilsätze in einen zusammenzieht, und alsdann alle 

 Zeichen in die entgegengesetzten verwandelt, 



P-(1+f-) i 2.(l+j>2).a: dp 2h_ (l+P 2 ) . (1-P-) dp 



1—p 2 ' Q_p2) 2 dx 27 p 3 dz 



