Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 241 



Der integrirende Factor dieser Gleichung ist j^ri'i denn dabei geht sie über in 



p 2 , Vp . x dp -2h l \ -.\ dp 



l— p 2 + ^_ p 2f ' 'die ' ' ITT • \Y 2 J ' ~dx~ 



Daraus folgt durch Integration 



73) _^. X =L_J£. ±fa£ 



/ 1— p* 27 p 



und wenn man x aus 72) und 73) eliminirt, so bekommt man weiter 

 »*) j,.y = *L-±.^L + ± "-'*>' 



27 * p '27 p 



Durch die Verbindung der beiden Gleichungen 73) und 74) hat man, wegen des Integrations- 

 Constanten L, abermals eine Reihe stetig auf einander folgender Reflexions-Curven, von 

 welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auf- 

 fallen, die bestimmt vorgeschriebene Katakaustika r/ = h . ;t 2 erzeugt wird; und weil x und y 

 als Functionen von p ausgedrückt sind , so können alle diese Reflexions-Curven mittels ihrer 

 Tangenten construirt werden. 



Dass aber aus der Verbindung der beiden Gleichungen 73) und 74) dieselben (Jurven 

 hervorgehen, wie aus der Verbindung der Gleichungen 65) und 66); davon kann man sich 

 auf folgende Weise überzeugen: 



In Folge der drei Gleichungen 38), 39), 40) ist bekannt, dass, es mögen die Bestand- 

 theile r, t), E von x unabhängig oder von x abhängig sein, der für p hervorgehende Ausdruck 

 sich jedesmal auf folgende Form 



75) - (*-s) + ^-or- + {x-rf 



reducirt; und wenn man aus 63) und 75) die Differenz (y — ty) eliminirt, so fällt auch (x — r.) 

 mit hinweg, d. h. Gleichung 75) geht über in 



76) p 

 Daraus folgt weiter 



77) 



78) 

 79) 



1 -y* 



l+P 2 



(1-prf _ 9.#.(—B t ±Y4..p + 9.f) _ 9.(— 8j±fM« + 9.J») 



P 2 . ^3 2.Ä 



Nun substituire man die für p ^_ a und für — ^— hergestellten Ausdrücke in Gleichung 73). 



p 

 so geht sie über in 



■»■*±<*-* + >*-. x==LT .» r .Vi.tf+<>.? 



oder, wenn man Alles mit 2 multiplicirt, in 



80) -:z±y*+ + :* . x = 2L T _^_ . y 4 . *• + 9 . f. 



Ebenso geht, durch die gehörigen Substitutionen, Gleichung 74) über in 



81) -s. I± n.,. +8 .,- _ t=liL -± t [±-£ä.V*.t + ».f. 



Wenn man hier noch K statt 2L setzt, so fallen die Gleichungen .80) und 81) genau mit 65) 

 und 66) zusammen, wie zu beweisen war. 



Denkschriften der mathem.-natulnrw. Cl. XX. Btl. Abhandl. v. Nichtmitgliedern. 



