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Dritte Methode. Man kann das einfach singulare Integral auch gewinnen, wenn man 

 bei Gleichung 53) den ersten Factor zu Null werden, d. h. wenn man die Gleichung 



82) 3 . u . [y + u . (u-p) . ^f = 2h . (x + (u-p) . £) 



gelten lässt. Man dividire mit 52) in 82), so gibt sich 



3 . u . (x + (u—p) . ~) = 2 . (i, + u . (u—p) . J-) 



oder 



83 ) m . (u—p) .^- = 2.y — Bu.x 

 Jetzt eliminire man -^ aus 52) und 83), so gibt sich weiter 



84) 27 . (# — ■mx') 3 =-^- • (y — uxf 

 oder 



4./, 1 



85) ?/ - ux = - w . -^ 



Nun muss man untersuchen, ob von 85) auch den beiden Gleichungen 52) und 82) zugleich 

 genügt wird, und ob das zu 85) gehörige Integral ein einfach singuläres oder ein ein- 

 fach particuläres ist. Weil aber Gleichung 85) dieselbe ist, wie 67); so ist auch der weitere 

 Verlauf dieser dritten Methode, wie bei der zweiten. 



§• 8- 

 Beispiel 2. Man sucht diejenige Eeflexions-Curve, bei welcher die parallel auf sie auf- 

 fallenden Lichtstrahlen so zurückgeworfen werden , dass die zugehörige Katakaustika die 

 durch folgende Gleichung 



86) tf = 2h . r 



vorgeschriebene konische Parabel ist. 



Hier bekommt man für die gesuchte Reflexions-Curve folgende Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung 



87) (y + u . (u-p) . ± )' = 2h . (x + (u-p) . £) 

 und wenn man differentiirt , so gibt sich weiter 



88) [u.y + u* . (u-p) .£-*). (2 — £ . £ - (u-p) . ~) = 

 Lässt man die Differentialgleichung dritter Ordnung 



_ - . ~ dp dx , \ dfiu n 



gelten; so ist (nach §. 6) die den beiden Differentialgleichungen 87) und 89) zugleich genü- 

 gende Differentialgleichung erster Ordnung dargestellt durch die Verbindung der beiden 

 Gleichungen 



90) B 2 = 2 h . A 



und 



9i) iy—S) =(x—A) . u 



