Das umgekehrte Problem der Brennlinie)). 243 



Jetzt substituire man für u den Ausdruck — '^ in Gleichung- 91). so geht diese über in 



92) (y— B) . f + 2 . (x—Ä) . p = (y—B) 



und wenn man mit dieser Gleichung weiter verfahrt, wie mit Gleichung 20) in §. 5: so ist 

 das allgemeine Integral durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



93) B 2 = 2h.A 

 und 



94) ± V{y— Bf + (x—Af = x + E 



oder, was das nämliche ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



95) tf = 2 h . x 

 und 



96) ± V(y— \)f + (x-x) 2 = x + E 



'dargestellt, d. h. man hat alle jene unendlich vielen Schaaren konischer Parabeln, deren 

 Hauptaxen mit der allen diesen Parabeln gemeinschaftlichen Abscissenaxe parallel laufen, 

 und deren Brennpunkte in der durch die Gleichung tf = 2h. x vorgeschriebenen Katakaustika 

 liegen. 



Nun sind die Reflexions-Curven als Gränz-Curven der zweiten Ordnung nicht durch 

 allgemeine, sondern durch einfach singulare Integrale darzustellen; und diese kann 

 man, wie schon in §. 6 vermerkt, auf drei verschiedenen Wegen aufsuchen. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus dem allgemeinen 

 ableitet, so beachte man vorerst, dass 



± fVdf+dtf = ± f^L.dt) 



= ± "TtF +¥- 1 g nat l-^ ) 





± - "äTF 1 ~ ¥ • ^ nat l- -IT -) 



ist. Hier gehören durchweg die oberen Zeichen zusammen, und ebenso die unteren; und es 

 specialisiren die (in §. 6 aufgestellten) zwei Gleichungen 42) und 44) sich diesmal in 



97) (</-b) - (X-X) • y = 



und 



98) + Viy-tf + (x-xY = * + KT " • ^p + 1 ■ lgnat ( -»* y »+* ) 



Eliminirt man zuerst die Differenz (y — k)), und hierauf die Differenz (er — r) aus 97) und 98); 

 so bekommt man bezüglich 



99) -> ± [ n2 +" 2 . x = K + *. . lgnat (_zJL±^!±Ü) 



und 



100) -" ± /j 1// ' 2 + " 2 . y = K+ »•(-»^ i ) + * . lgnat (-»±** ä ±ül) 



