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Durch die Verbindung der drei Gleichungen 86), 99), 100) hat man, wegen des Inte- 

 grations-Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Reflexions-Curven, von welchen 

 allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auffallen, die 

 vorgeschriebene Katakaustika tf = 2h . r. erzeugt wird; und weil x und y als Functionen von 

 X und t) ausgedrückt sind, so können alle diese Reflexions-Curven mittels der Coordinaten der 

 vorgeschriebenen Katakaustika construirt werden. 



Auch ist zu bemerken, dass, je nachdem man aus 86) und 99) entweder das x oder das r; 

 eliminirt, im ersten Falle das t) und im zweiten Falle das x als Function von x und K 

 erscheint; und somit ist nachgewiesen, dass die Verbindung der drei Gleichungen 86), 99), 

 100) ein einfach singuläres und nicht ein einfacli particuläres Integral ist. 



Zweite Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus der ersten Stamm- 

 gleichung ableiten will, so muss man die zwei Gleichungen 90) und 91) zu Hilfe nehmen; 

 und dabei specialisirt sich Gleichung 50) in 



101) y — u.x = \.\ 



Das nächste Geschäft ist jetzt, dass man sich überzeugt, ob von der Gleichung 101) auch die 

 87) erfüllt wird, und ob das zu 101) gehörige Integral ein einfach singuläres oder ein 

 einfach particuläres ist. Aus 101) aber folgt der Reihe nach 



102) y = u . x + 4 . -^ 



(/< 1 \ du 



x — T • ^J • -& 



Wenn man die hier für y und p hergestellten Ausdrücke in Gleichung 87) einsetzt, so wird 

 diese identisch, d. h. Gleichung 87) wird von dem zu 101) gehörigen Integral erfüllt. Wenn 

 man ebenso die hier für p und ^~ hergestellten Ausdrücke in Gleichung 89) substituirt. so 

 reducirt sich diese auf 



. h du r . 



105) — -WH x - = ° 



Letztere Gleichung trägt aber einen Widerspruch in sich selbst; und somit ist man überzeugt, 

 dass das zu 101) gehörige Integral wirklich ein einfach singuläres zu der vorgelegten 

 Differentialgleichung 87) ist. Um jedoch Gleichung 101) weiter behandeln zu können, muss 

 man für u den Ausdruck -^^ zurückführen; und dabei geht 101) über in 



106) y- ^ x = T .- r - 



oder, wenn man differentiirt, sodann die beiden ersten Theilsätze in einen zusammenzieht, 

 und zuletzt Alles mit i r ., multiplicirt, 



f- 



10') i—pi + (l _ p2 f " dx ~ " p ' dx 



Daraus folgt durch Integration 



108) 



1— p- 

 und wenn man x aus 106) und 108) eliminirt, so bekommt man weiter 



109) p . y = 2L + ^ . (1— f) + j . lgnat_p 



