Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 245 



Durch die Verbindung der beiden Gleichungen 108) und 109) hat man, wegen des Integra- 

 tions-Constanten L, abermals eine Reihe stetig aufeinander folgender Reflexions-Curven, von 

 welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abseissenaxe auf- 

 fallen, die bestimmt vorgeschriebene Katakaustika tf = 2Ä.r. erzeugt wird; und weil x und y 

 als Functionen von p ausgedrückt sind, so können alle diese Reflexions-Curven mittels ihrer 

 Tangenten construirt werden. 



Dass aber aus der Verbindung der beiden Gleichungen 108) und 109) dieselben Curven 

 hervorgehen, wie aus der Verbindung der Gleichungen 99) und 100): davon kann man sich 

 auf folgende Weise überzeugen: 



In Folge der drei Gleichungen 38), 39), 40) ist bekannt, dass, es mögen die Bestand- 

 teile je, t), -Cvon x unabhängig oder von x abhängig sein, der i\\v p hervorgehende Ausdruck 

 sich jedesmal auf folgende Form 



lim n — ~ (*-*) * v w-y)* + ( x s>* 



reducirt; und wenn man aus 97) und 110) die Differenz (y — r;) eliminirt, so fällt auch (x — r.) 

 mit hinweg, d. h. Gleichung 110) geht über in 



111) ?= -** V » + * 



Daraus folgt weiter 



o 





und 



H2,) pi — — — " ± ^ A2 +9 2 



1 - P- 2t) 



Nun substituire man die fürp und i ^_~ ., hergestellten Ausdrücke in die Gleichung 108), so 



bekommt man 



- i; ± Vffi+F x—J i h i~«„+ ( - " ± ^^Tn- 



2« 



oder, wenn man Alles mit 2 multiplicirt, 



t , h l 4. ( — D ± y A 2 +9 a ^ 



L + T . lgnat (- — r -) 



114) ~ » ± !» + * . x = IL + | . lgnat ( -" ± ^ + " a ) 



Ebenso geht, durch die gehörigen Substitutionen, Gleichung 109) über in 



115) -*±*W . y = 2L + »•(-»* *»+>») + * . lgnat ( -9+^+9») 



Wenn man hier noch Ä" statt 2L setzt, so fallen die Gleichungen 114) und 115) genau mit 

 99) und 100) zusammen, wie zu beweisen war. 



Dritte Methode. Man kann das einfach singulare Integral auch gewinnen, wenn man 

 bei Gleichung 88) den ersten Factor zu Null werden, d. h. wenn man die Gleichung 



116) u . y + M 2 . (u—p) . -J- — h = 

 gelten lässt. Daraus folgt 



- , _n , \ dx h — u . v 



