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und wenn man diesen für (u — p) . -^ hergestellten Ausdruck in Gleichung 87) substituirt, so 

 geht diese über in 



(it_\ 2 ^2Ji " • ( ux —y) + h 



V U J ^ ' u- 



und daraus folgt weiter 



118) y — ux= -| . ~ 



Nun muss man untersuchen, ob von 118) auch den beiden Gleichungen 87) und 116) zugleich 

 genügt wird, und ob das zu 118) gehörige Integral ein einfach singuläres oder ein ein- 

 fach particuläres ist. Weil aber Gleichung 118) dieselbe ist, wie 101); so ist auch der 

 weitere Verlauf dieser dritten Methode, wie bei der zweiten. 



§. 9- 

 Beispiel 3. Man sucht diejenige Reflexions-Curve, bei welcher die parallel auf sie einfal- 

 lenden Lichtstrahlen so zurückgeworfen werden, dass die zugehörige Katakaustika die durch 

 folgende Gleichung 



119) tf + f = ¥ 



vorgeschriebene Kreislinie ist. 



Hier bekommt man für die gesuchte Reflexions-Curve folgende Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung 



120) (y + u . (u-p) . ^J+ (x 4- (u-p)'. £f= Ar 

 und. wenn man differentiirt, so gibt sieh weiter 



121) (u . y + x + (1 +«P) • {u-p) . *) . (2 - 1 . -g - (u- P ) . *) = 

 Lässt man die Differentialgleichung dritter Ordnung 



122) 2 — -£-.-£- — (u—p). ~ = 



I dx du v J- ' du 1 



gelten; so ist (nach §. 6) die den beiden Differentialgleichungen 120) und 122) zugleich 

 genügende Differentialgleichung erster Ordnung dargestellt durch die Verbindung der beiden 

 Gleichungen 



123) B 2 + Ä 2 = ¥ 

 und 



124) (y— B) = (x—A) . u 



Jetzt substituire man für u den Ausdruck „ in 124), so bekommt man 



(y-B) . f 4- 2 . (x—A) . p = (y-B) 



und wenn man mit dieser Gleichung weiter vorfährt, wie mit Gleichung 20) in §. 5; so ist 

 das allgemeine Integral durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



125) B 2 + Ä 1 = k 2 

 und 



126) ± V(y—Bf + (x—Af=x + E 



