Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 247 



oder, was das nämliche ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 

 127) tf + f = k* 



un 



<1 



128) ± V(y— 9) 2 + [x— j) 2 = x + E 



dargestellt, d. h. man hat alle jene unendlich vielen Sehaaren konischer Parabeln, deren 

 Hauptaxen mit der allen diesen Parabeln gemeinschaftlichen Abscissenaxe parallel laufen, 

 und deren Brennpunkte in der durch die Gleichung if + r 2 = k' : vorgeschriebenen Kreislinie 

 liegen. 



Nun sind die Reflexions-Curven als Gränz-Curven der zweiten Ordnung nicht durch 

 allgemeine, sondern durch einfach singulare Integrale darzustellen; und diese kann 

 man, wie schon in §. 6 vermerkt, auf drei verschiedenen Wegen aufsuchen. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus dem allgemeinen ab- 

 leitet, so beachte man vorerst, dass 



f^df + <¥ = * Jvi=? 



= k . aresin ~ = k . arecos -7- = k . arc tg — 



ist; und so specialisiren sich die in §. 6 aufgestellten zwei Gleichungen 42) und 44) diesmal 

 in 



129) (y-t)) + (sr-je) . } = 

 und 



130) ± V(y—\j? + (*— je)* = x + K + h . aretg j- 



Um nun das x als Function von r. und t) auszudrücken, eliminire man die Differenz {y—tj) aus 

 129) und 130); so bekommt man 



131) ± (*-t) . *¥Tv _ = x + K - k _ arctg | 



Um ferner auch das y als Function von r. und t) auszudrücken, addire man auf der rechten 

 Seite der letzten Gleichung die identische Differenz (r — fc); so gibt sich zunächst 



132) ±{*-i>y?Tt _ = ( x _ r ) + x+ je + k . arc tg j 

 Nun folgt aus 129); dass 



133) ( x -l) = -{y—\j).\ 



und wenn man jetzt die Differenz (x — r.) aus 132) eliminirt, so bekommt man weiter 



134) + (y-o) • n--'+') a = __ fy_y .X _|_ JT+jc + Ä:. arctg j 



Man kann aber, wegen Gleichung 119), auch k statt V;c 2 + if setzen, und so kann man 131) 

 und 134) auch umformen in 



135) ±lpl. a; = /v±^.(|-arctg{) 



und 



136) ±lpl. y = _.ir * ±*. (l + arctgi-) 



