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Durch die Verbindung der drei Gleichungen 119), 135), 136) hat man, wegen des Inte- 

 grations-Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Reflexions-Curven, von welchen 

 allen, sobald die urspzünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auffallen, die 

 vorgeschriebene Katakaustika x 2 -f t) 2 = k 2 erzeugt wird; und weil x und y als Functionen 

 von x und t) ausgedrückt sind, so können alle diese Reflexions-Curven mittels der Coordinaten 

 der vorgeschriebenen Katakaustika construirt werden. 



Auch ist zu bemerken, dass , je nachdem man aus 119) und 135) entweder das x oder 

 das t) eliminirt, im ersten Falle das t) und im zweiten Falle das x als Function von x und K 

 erscheint; und somit ist nachgewiesen, dass die Verbindung der drei Gleichungen 119), 135) 

 und 136) ein einfach singuläres und nicht ein einfach p arti culäre s Integral ist. 



Zweite Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus der ersten Stamm- 

 gleichung ableiten will, so nmss man die zwei Gleichungen 123) und 124) zu Hülfe nehmen; 

 und dabei specialisirt sich Gleichung 50) in 



137) y — u . x= + k . Vi + 



U" 



Das nächste Geschäft ist jetzt, dass man sich überzeugt, ob von der Gleichung 137) auch die 

 120) erfüllt wird, und ob das zu 137) gehörige Integral ein einfach singuläres oder ein ein- 

 fach particuläres ist. Aus 137) aber folgt der Reihe nach 



y=u.x±k.Vl-\- ii 2 



( * • " \ du 



dp „ du ( , * • u \ dh, k ( d "Y 



~dx~ ' * ~dx~ "r V*" — V\+u* ) - ~d^ - (Vi + « 2 ) 3 ' \dx) 



Wenn man die hier für y und p hergestellten Ausdrücke in Gleichung 120) substituirt, so 

 wird diese identisch, d. h. Gleichung 120) wird von dem zu 137) gehörigen Integral erfüllt. 

 Wenn man ebenso die hier fürp und --^-hergestellten Ausdrücke in Gleichung 122) substi- 

 tuirt, so reducirt sich dieselbe auf 



& du 



und weil letztere Gleichung einen Widerspruch in sich selbst trägt, so ist man überzeugt, 

 dass das zu 137) gehörige Integral wirklich ein einfach singuläres der Gleichung 122) ist. 

 Um jedoch Gleichung 137) weiter behandeln zu können, muss man für u den Ausdruck Sub- 

 stituten; und dabei setzt Gleichung 137) sich um in 



138) » -*L t . x= + k . 4±4 



' " I p~ — 1 p-* 



oder, wenn man differentiirt, sodann die beiden ersten Theilsätze in einen zusammenzieht, 

 hierauf alle Vorzeichen in die entgegengesetzten verwandelt, und zuletzt Alles mit 2 

 multiplicirt, 



"2p . x dp 



139 ) iSr + TT^T • Z = T 4& 



-P- (l—p-f ''''■' ' (i—p*f .(i+p 2 ) ' dx 



Daraus folgt durch Integration 



140) -^ . * = L + k . (^ - arc tgp) 



