Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 249 



und wenn man x aus 138) und 140) eliminirt, so bekommt man weiter 



141) p . y = 2L + k . (p — 2 . arc tgp) 



l>urch die Verbindung der beiden Gleichungen 140) und 141) hat man, wegen des Integra- 

 tions-Constanten L, abermals eine Keibe stetig aufeinander folgender Reflexions-Curven, von 

 welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auffallen, 

 die bestimmt vorgeschriebene Katakaustika r/~' -4- f = k 2 erzeugt wird; und weil x und y als 

 Functionen von p ausgedrückt sind, so können alle diese Reflexions-Curven mittels ihrer Tan- 

 genten construirt werden. 



Dass aber aus der Verbindung der beiden Gleichungen 140) und 141) dieselben Curven 

 hervorgehen, wie aus der Verbindung der beiden Gleichungen 135) und 136); davon kann 

 man sich auf folgende Weise überzeugen: 



In Folge der drei Gleichungen 38), 39), 40) ist bekannt, dass, es mögen die ßestand- 

 theile r, ty, E von x unabhängig oder von x abhängig sein, der für p hervorgehende Ausdruck 

 sich jedesmal auf 



I 1 (y— 1)1 



reducirt. Nun folgt aus 129), dass 



143) (y—t)) = - («-iE) • } 



und indem man mittels 

 hinweg, und es bleibt nur 



n 

 ist; und indem man mittels 143) die Differenz (y — \j) aus 142) entfernt, fällt auch (x — r) mit 



3 g> 



144) ' i , = _=±±^ = ^LAA = ±+i 



Daraus folgt weiter 



i A-\ 1 «2 21) .(-1) + *i 



145) 1 — V = ja 



und 



146) arc tgp = j . arc tg -^ = \ . arc tg -=£ = - - 1 . arc tg j- 



Nun substituire man die betreffenden Ausdrücke in 140), so bekommt man 



2.1) V •-' . I) ' 2 & 1) ) 



oder, wenn man Alles mit 2 multiplicirt, 



147) -^=^ . x = 2L ± k . (j - arctg j) 



Man substituire ebenso die betreffenden Ausdrücke in die Gleichung 141), so bekommt man 

 weiter 



^L.y = -1L + k.{^ + arc t g ^ 



oder 



_+_*_+ ü „, o r i k '' 



i 



oder, mit Veränderung der Zeichen 



± Je — t) 



.y=2L + ^ + k . (| + arctg j) 



148) lÜ^l.y = __3Z,-^ ± fc.(i.+ aro*gf) 



Denkschriften der mathem.-Naturw. Cl. XX. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgliedern. gg 



