250 G. W. Strauch. 



Wenn man hier noch K statt 2L setzt, so fallen die Gleichungen 147) und 148) genau mit 

 135) und 136) zusammen, wie zu beweisen war. 



Dritte Methode. Man kann das einfach singulare Integral auch gewinnen , wenn 

 man bei Gleichung 121) den ersten Factor zu Null werden, d. h. wenn man die Gleichung 



149) u .y + x + (l+u 2 ) . (u—p) . -£- = 



gelten lässt. Daraus folgt 



/ \ dx u . y -4- x 



150) («— p) • är = rrV 



und wenn man diesen für (u — p) . -j- hergestellten Ausdruck in Gleichung 120) substituirt, 



so geht diese über in 



. (y— «a) y- 



ry — ux\* ( u . (y —ux) y , 2 



oder in 



(y—ux 



1 + u* 



^ = & 2 



und daraus folgt weiter 



151) y — ux = ± A; . |/l + m 2 



Nun muss man untersuchen, ob von 151) auch den beiden Gleichungen 120) und 149) zu- 

 gleich genügt, und ob das zu 151) gehörige Integral ein einfach singuläres oder ein 

 einfach particuläres ist. Weil aber Gleichung 151) dieselbe ist, wie Gleichung 137); 

 so ist auch der weitere Verlauf dieser dritten Methode, wie bei der zweiten. 



Zweiter Abschnitt. 



Bestimmung der Reflexions-Curven für von einem leuchtenden Punkte herkommende Lichtstrahlen. 



§. 10. 



Man sucht diejenige Eeflexions-Curve, bei welcher die von einem leuchtenden Punkte 

 herkommenden Lichtstrahlen so zurückgeworfen werden, dass die Katakaustika sich in einen 

 einzigen Punkt (Brennpunkt) zusammenzieht. 



Man richte das Coordinatensystem der gesuchten Reflexions-Curve so ein, dass dieAbscis- 

 senaxe durch den leuchtenden Punkt geht; und wenn dabei die Coordinaten des vorgeschrie- 

 benen Brennpunktes die festen Werthe g und h haben , so specialisiren sich für dieselben die 

 Gleichungen 2) und 3) bezüglich in 



152) 9 = x + (u—p) . iji 



du 



und 



dx 

 du 



153) ^ = y + u • ( u '-p) • 



und jede Curve, welche diesen beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung zugleich 

 genügt, hat die in der Aufgabe verlangte Eigenschaft. 



Das nächste Geschäft ist nun, eine erste Stammgleichung aufzusuchen, welche diesen 

 beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung zugleich genügt; und wenn man hier wie in 

 §. 5 verfahrt, so bekommt man 



154) y — 1) = (x— g) • u 



