Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 251 



Diese erste Staniingleichung enthält keinen Integrations -Constanten; denn nur so kann sie, 

 wie man bereits im §. 5 ersehen hat, den beiden vorgelegten Differentialgleichungen 152) und 

 153) zugleich genügen. Um aber die Aufgabe weiter durchführen zu können, muss man für u 

 den in §. 2 befindlichen Ausdruck 



2,(x—g).p — y.(l-p 2 ) 

 2.y.p + {x—g).(l—p 2 ) 



in welchem durch g die Abscisse des leuchtenden Punktes dargestellt ist, zurückführen. Dabei 

 geht Gleichung 154) über in 



1 55) ({x— g) . (y—i)) + (x— g) . y) . f 4- 2 . ((x-g) . (x— g) — (y—fj) . y) .p 



— (*—g) • {y—fy — («—8) • y = ° 



Man multiplicire diese Gleichung mit ((sc — g) . (y — h) — (x — g) . ?/), so gibt sich 



156) ((x-g) 2 . (y-i)f - (x-g) 2 . y*) .f 



+ 2 . {(x—gy.(x-Q).(y—li) — (x—g).(y—fy 2 .y — (x-g) . {x—tf.y 4- {x— g) . (y— $) . /) . p 



— (x— ^r) 2 . Q/— b) 2 4- (x— g) 2 . y 2 = 



Man addire die beiden identischen Differenzen 



(x—gf . (x— g) 2 — (x— #) 3 . (x— g) 2 

 und 



{y—W ■ y 2 ■ f — (y—W -f-f 



so setzt Gleichung 156) sich um in 



157) ({x-gf + y 2 ) . ((x-g) 4- y-fy .pf - ((*-0) a + (y-W) ■ ((*-?) 4- y .pf = 



Daraus folgt 



*" j f(*-?) 2 + y* *(*-a) 2 + (y-t)) 2 



und wenn man integrirt, so gibt sich 



159) V{x-gf 4- f ± V/(x-g) 2 4- (*M>) 2 = ö 



Das den Differentialgleichungen 152) und 153) gemeinsame Urintegral ist also nur mit einem 

 und nicht mit zwei Integrations-Constanten versehen. Die Ursache ist schon bei Gleichung 22) 

 angemerkt. 



Bei Gleichung 159) erkennt man, dass der Ausdruck V(x — g) 2 4- y 2 der vom leuchtenden 

 Punkte, und dass der Ausdruck V (x— g) 2 4- (y — ff) 2 der vom vorgeschriebenen Brennpunkte 

 (g,h) nach irgend einem Punkte der gesuchten Reflexions-Curve gezogene Leitstrahl ist; und 

 daraus folgt , dass , je nachdem man beim Doppelzeichen ± das obere oder untere gelten 

 lässt, entweder die Summe oder der Unterschied der beiden Leitstrahlen gleich ist dem 

 Integrations-Constanten 6r, d. h. die durch 159) dargestellte Curvenreihe besteht entweder 

 aus konischen Ellipsen oder aus konischen Hyperbeln, welchen allen die unveränderliche 

 Excentricität j/(g — gf + ff gemeinschaftlich ist. Nun hat man zu unterscheiden: 



1. Bei den konischen Ellipsen wird jeder zwischen zwei zusammengehörigen Leitstrahlen 

 liegende Winkel von der betreffenden Normale halbirt; und somit wird jeder von einem 



ss* 



