Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 2 53 



Die Verbindung - dieser beiden Gleichungen ist die erste Stammgleiehung zu 161); und weil 

 A und B in der durch 165) ausgesprochenen Abhängigkeit zu einander stehen, so kann man 

 entweder A oder B aus 166) eliminiren, wodurch man eine erste Stammgleichung mit nur 

 einem Integrations-Constanten bekommt. 



Um nun die Gleichung 166) weiter behandeln zu können, muss man für u den Ausdruck 

 5) zurückführen; und dabei geht 166) über in 



167) ((x—g) . (y-B) + [x—A) . y ) . f + 2 . {(x-g) (x—A) — (y—B) . y) . V 



— {x—9) • 0/— B) — (*~ A ) l! = ( -> 



Mit dieser Gleichung verfahre man jetzt weiter, wie mit Gleichung 155) im §. 10; so bekommt 

 man die Urgleichung 



16S) V(x— gf + f± V(x-Af + (y—B) 2 = G 



Hier erscheinen drei Integrations-Constanten A, B, 6r, während die vorgelegte Differential- 

 gleichung 161) nur eine von der zweiten Ordnung ist. Weil jedoch A und B in der durch 

 Gleichung 165) ausgesprochenen Abhängigkeit zu einander stehen, so kann man ent- 

 weder A oder B eliminiren, und ein Urintegral mit nur zwei Integrations- Constanten 

 herstellen. 



Vergleicht man jedoch die Geichungen 160) und 165) mit einander, so erkennt man, 

 dass zwischen A und B dieselbe Relation stattfindet, wie zwischen r. und b. Man kann also 

 statt der Integrations-Constanten A und B auch die zur vorgeschriebenen Katakaustika 

 gehörigen Coordinaten r. und b setzen; und dabei geht 168) über in 



169) V(x- gf + f ± V(x-?f + (z/-b) 2 = G 



Der Ausdruck V ' (x — gf -\- y 1 ist der vom leuchtenden Punkte nach irgend einem zur gesuchten 

 Reflexions-Curve gehörigen Punkte (x, y) gezogene Leitstrahl. Ebenso ist der Ausdruck 

 V{x — r/) 2 + (?/ — t)f der von irgend einem zur vorgeschriebenen Katakaustika gehörigen 

 Punkte (r , t)) nach dem zur gesuchten Pieflexions-Curve gehörigen Punkte (x, y) gezogene 

 Leitstrahl. Daraus folgt, dass, je nachdem man in Gleichung 169) dem Doppelzeichen seine 

 positive oder negative Bedeutung beilegt, entweder die Summe oder der Unterschied der 

 beiden Leitstrahlen gleich ist dem Integrations-Constanten G, d. h. alle durch 169) dar- 

 gestellten unendlich vielen Curven-Schaaren bestehen entweder aus konischen Ellipsen oder 

 aus konischen Hyperbeln mit der Hauptaxe G und mit der Excentricität V (f. — gf + b 2 . 

 Jeder im Umfange der vorgeschriebenen Katakaustika liegende Punkt (r., b) ist der eine 

 Brennpunkt, und der leuchtende Punkt ist der andere Brennpunkt der durch 169) dargestellten 

 Ellipsen oder Hyperbeln. Man hat nun zu unterscheiden: 



1. Bei den konischen Ellipsen wird jeder zwischen zwei zusammengehörigen Leit- 

 strahlen liegende Winkel von der betreffenden Normale halbirt, und somit wird jeder von 

 einem Brennpunkte der konischen Ellipsen ausgehende Lichtstrahl in den anderen Brenn- 

 punkt refiectirt. Wählt man also im Umfange der vorgeschriebenen Katakaustika irgend 

 einen Punkt, und verbindet man diesen mit dem leuchtenden Punkte; so sind alle unendlich 



