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vielen konischen Ellipsen, denen die eben besagte Verbindungslinie als Excentricität zukommt; 

 so beschaffen, dass sie die vom leuchtenden Punkte herkommenden Lichtstrahlen nach 

 jenem (im Umfange der vorgeschriebenen Katakaustika gewählten) Punkte reflectiren. 

 Geht man zu einem zweiten (unmittelbar anliegenden) Punkte im Umfange der vor- 

 geschriebenen Katakaustika über, und verbindet man diesen zweiten Punkt wiederum mit 

 dem leuchtenden Punkte; so sind alle unendlich vielen konischen Ellipsen, denen diese 

 zweite Verbindungslinie als Excentricität zukommt, ebenfalls so beschaffen, dass sie die 

 vom leuchtenden Punkte herkommenden Lichtstrahlen nach dem (im Umfange der vor- 

 o-eschriebenen Katakaustika gewählten) zweiten Punkte reflectiren. Und so fort. 



Weil nun (nach §. 10) bei jeder konischen Ellipse, sobald der eine ihrer Brennpunkte 

 der leuchtende Punkt ist, die Katakaustika sich in den anderen Brennpunkt zusammenzieht, 

 welcher bei allen durch 169) dargestellten unendlich vielen Ellipsen-Schaaren jedesmal ein 

 dem Umfano-e der vorgeschriebenen Katakaustika angehöriger Punkt ist; so ist unter allen 

 diesen Ellipsen keine einzige im Stande, von der vorgeschriebenen Katakaustika mehr als 

 einen Punkt zu erzeugen, d. h. keine einzige dieser Ellipsen ist die gesuchte Reflexions-Curve. 

 Man muss also untersuchen, ob unter diesen unendlich vielen Ellipsen-Schaaren solche Reihen 

 stetio- nebeneinander liegender Ellipsen vorkommen, die sich so schneiden, dass die dadurch 

 entstandenen Durchschnittslinien auch noch der vorgelegten Differentialgleichung 161) genü- 

 gen. Weil aber diese Differentialgleichung eine der zweiten Ordnung ist, so muss jede 

 Durchschnittslinie (§. 4) eine solche Gränz-Curve sein, welche in allen ihren Punkten mit 

 irgend einer der sich schneidenden Ellipsen eine Berührung der zweiten Ordnung eingeht. 

 Die Gränz-Curven der zweiten Ordnung werden aber, wie in der analytischen Geometrie 

 noch näher nachgewiesen werden muss, durch das einfach singulare Urintegral dar- 

 gestellt; und dieses kann bekanntlich auf drei verschiedenen Wegen ermittelt werden. 



2. Bei den konischen Hyperbeln wird jeder zwischen zwei zusammengehörigen Leit- 

 strahlen liegende Winkel von der betreffenden Tangente halbirt, und somit wird jeder von 

 einem Brennpunkte der konischen Hyperbeln ausgehende Lichtstrahl sowohl im näheren als 

 auch im entfernteren Hyperbelzweige so reflectirt, dass, wenn man den reflectirten Strahl 

 rückwärts verlängert, diese Verlängerung in den anderen Brennpunkt eintrifft. Bei den 

 konischen Hyperbeln werden also die von einem Brennpunkte ausgehenden Lichtstrahlen so 

 reflectirt, dass sie sich zerstreuen; und desshalb kann auch von den diese Hyperbeln osculi- 

 renden Gränz-Curven keine Katakaustika erzeugt werden. 



Weil nun durch Gleichung 169) nur konische Ellipsen dargestellt werden dürfen, so 

 darf bei dem Doppelzeichen auch nur das positive gelten; und Gleichung 169) specialisirt 

 sich in 



170) V(x— gf + f +V{x—ff + (y-tf = G 



Erste Methode, das einfach singulare Integral zu bestimmen. Wenn man dieses 

 aus dem allgemeinen Urintegral ableiten will; so beachte man, dass die Integrations- 

 Constanten von x und von y unabhängig sind bei allen sich schneidenden Curven; und 

 wenn man in dieser engen Beziehung die Gleichung 170) differentiirt , so bekommt man 



, „,. dy {x-Ü.V^-gf + y* + (.r.-g).V(x- jf 4- (y-l)T 



1(1 



*" (»— W-tV-y^T!* 8 + y- v ("-i) 2 + (y-9) 2 



