Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 255 



Dagegen müssen die tntegrations- Constanten Functionen von x sein bei allen Gränz-Curven: 

 und wenn man in dieser weiteren Beziehung die Gleichung 170) nach allen x differentiirt so 

 bekommt man 



{y—ft.Y^—gf + y* + y.V{x-if + (3,-9)2 



d\) \ rfr , lt/7Z — _ 1 o , — 7~_ — ~,\ dG 



rix 



((— s) + fr-« ■ -£) ■ ■£■ + (^(*-s) 2 + fr-«») 



4- : " r/ ffJ v ; ^ _ \{x—qf 4- w 2 



(2 ,_ W y {a ._ ?) a + 2,2 + y. V(^_j.)2 + (y . 9)2 ^ 



Damit aber aus 171) und 172) sich für -^ zwei ebenförmige Ausdrücke ergeben können, 

 muss die Gleichung 



173) ((*-r) + to-$ .-}■). -£ + (V^-?:) 2 + (*/-l)) 2 ) | 







stattfinden. Differentiirt man Gleichung 171) noch einmal sowohl nach allem explicit als auch 

 nach allem implicit in?/, r.,t) enthaltenen x\ so bekommt man neben der Gleichung 173) auch noch 



174) [(x-g) (x-f) 4 y [y-tj) 4 (Vj^-gT + f) . V(z-tf + (>-b) 2 ] . ((*,-*)_ (. T _ r ) . £) | = 



Daraus kann aber nur folgen 



175) 0— 9) — '( a; — Ö • f- = ° 



und hiermit wird diejenige Grade dargestellt, welche durch den Punkt (x, y) der gesuchten 

 Reflexions-Curve geht, und zugleich die zum Punkte (r. , t)) der vorgeschriebenen Katakaustika 

 gehörige Tangente ist. Jede Katakaustika ist ja, wie schon in §. 1 auseinandergesetzt wurde, 

 eine einhüllende Gränz-Curve. 



Eliminirt man jetzt mittels der Gleichung 175) die Differenz (y — t)) aus 173), so fällt 

 auch (x — r.) mit hinweg; und 173) geht über in 



(df + dt) 2 ) 4- {Vdf 4- dt) 2 ) .dG = 

 oder in 



(Vdf + dt) 2 ) + dG = 0. 



dG= — Vdf 4- dt) 2 



G = K — fVdf 4- dxf 

 wo Ä" ein Integrations-Constanter ist. Gleichung 170) geht also über in 



177) V{x-gf + f + V(x-ff + (y-t)) 2 = K-fVdf + dxf. 

 Z\I it dieser Gleichung hat man aber noch folgende drei 



175) (y-^-ix-f) .f = 



160) 8(^ = 



178) M. + M.^ = 



> d-c ' dt) e% 



zu verbinden, d. h. man hat die in 177) angezeigte Integration auszuführen, und sodann die 

 drei Bestandtheile r. , t), dt) zu eliminiren. Dabei fällt auch djc mit hinweg, und es ergibt sich 



