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eine Gleichung zwischen x und y und dem Integrations-Constanten K. Diese neue Gleichung 

 ist aber ein einfach singuläres Urintegral zu 161); und durch dasselbe ist, wegen des 

 Inteo-rations- Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Reflexions-Curven dar- 

 gestellt von welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen von dem leuchtenden 

 Punkte dessen Abscisse = g ist, herkommen, die bestimmt vorgeschriebene Katakaustika 

 g ( r. t)) = erzeugt wird. 



Zweite Methode. Zu dem einfach singulären Integrale kann man auch mittels der 

 ersten Stammgleichung gelangen. Man beachte also wiederum, dass die Integrations- 

 Constanten von x und von y unabhängig sind bei allen sich schneidenden Ellipsen; und wenn 

 man in dieser engen Beziehung die Gleichung 166) differentiirt , und dabei sich erinnert, 

 dass u diesmal eine Function von x, y . p ist; so bekommt man 



dp 



(„_,) + (— 4. (_ + -L-.j>) 



Dagegen müssen die Integrations-Constanten Functionen von x sein bei allen Gränz-Curven : 

 und wenn man in dieser weiteren Beziehung die Gleichung 166) nach allen x differentiirt, so 

 bekommt man weiter 



180) 



„. / d. v u , duit \ dB 



d^ __ (»-?) + (*~ Ä ) -hr + -%■•*) 71- w dA 



** ' (x-A) . & (x-A) . 45 " dx 



' dp dp 



Damit aber aus 179) und 180) für ~ zwei ebenfdrmige Ausdrücke sich ergeben können, 

 muss die Gleichung 



181) £ - u= 



stattfinden. Nun folgt aus 165) die Differentialgleichung 



ib -) dA ' dB • dA — U 



und wenn man aus den vier Gleichungen 165), 166), 181), 182) die drei Bestandtheile A, B, 

 %- eliminirt, so bekommt man endlich 



dA 



183) y — u . x = <p{u) 



wo die Form des Ausdruckes <j> (u) abhängig ist von % (A, B) = 0. Hier hat man für u noch 

 seinen Ausdruck 



2.(x—s).p — y-(i— p 2 ) 



■ 2y .p + ( x -g).(l—p*) 



zurückzuführen, und die sich ergebende Differentialgleichung erster Ordnung zu integriren. 

 Dadurch gelangt man zu der nämlichen mit x, y und dem Integrations-Constanten K ver- 

 sehenen Urgleichung, wie bei der ersten Methode. 



Dritte Methode. Lässt man die Gleichung 164), d. b. die Gleichung 



i,S4 J IE + u ■ dN — u 



gelten, so hat man jetzt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; und man muss eine 

 solche der ersten Ordnung aufsuchen, von welcher die beiden Gleichungen 161) und 184) 

 zugleich erfüllt werden. Die hier aufzusuchende Differentialgleichung erster Ordnung wird 



