Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 257 



aber genau wieder die Gleichung 183) sein, durch deren Integration sich also auch die 

 nämliche mit x, y und dem Integration - Constanten K versehene Urgleichung ergibt, wie 

 bei der zweiten Methode. 



(Man vergleiche die dritte Methode in §. 7 , §. 8, §. 9.) 



Anmerkung. In speciellen Fällen werden durch die zweite und dritte Methode grosse 

 Weitläufigkeiten veranlasst; und desshalb sollen die in §. 12, §. 13, §. 14 nachfolgenden 

 Beispiele nur nach der ersten Methode ausgeführt werden. 



§• 12- 



Beispiel 4. Man sucht diejenige Reflexions-Curve, bei welcher die von einem leuchtenden 

 Punkte herkommenden Lichtstrahlen so zurückgeworfen werden, dass die zugehörige 

 Katakaustika die durch die Gleichung 



1 85) tf = h . v 



vorgeschriebene semikubische Parabel ist. 



Hier ist (nach §. 11) das allgemeine Integral durch die Verbindung der folgenden 

 zwei Gleichungen 



186) B 3 = h.A 2 



und 



187) Vix-gY + f + V(x—Af + (y—Bf = G 



oder, was das nämliche ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



188) tf = h . f 



und 



189) I (x-gfA-tf + Vix—if + (y—tjf = G 



dargestellt, d. h. man hat alle unendlich vielen Schaaren konischer Ellipsen, bei denen 

 jeder im Umfange der vorgeschriebenen Parabel liegende Punkt der eine Brennpunkt sein 

 kann, und bei denen der leuchtende Punkt der andere Brennpunkt sein muss. 



Nun sind die Reflexions-Curven, als Gränz-Curven der zweiten Ordnung, nicht durch ein 

 allgemeines sondern durch ein einfach singuläres Integral darzustellen; und die Gleichungen 

 175) und 177) specialisiren sich diesmal in 



190) (y-$ - (z-r.) .-|£ = 

 und 



191) V(x— gf + f 4- V(x— jcj 2 + (y-i)f = K- (| + ~) ■ W . f + 4 . r/ 



Durch die Verbindung der drei Gleichungen 185), 190), 191) hat man, wegen des Integrations- 

 Constanten K, eine Reihe stetig auf einander folgender Reflexions-Curven, von welchen allen, 

 sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen von einem leuchtenden Punkte, dessen Abscisse = g 

 ist, herkommen, die vorgeschriebene Katakaustika tf = h . r 2 erzeugt wird; und weil man x 

 und y als Functionen von r. und ty ausdrücken kann, so können alle diese Reflexions-Curven 

 mittels der Coordinaten der vorgeschriebenen Katakaustika construirt werden. 



Denkschriften der mathem.-natuturw. Ol. XX. Bd. Abhaudl. v.Nichtniitgliedem. hh 



