Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 259 



ZWEITE ABTHEILUNG. 



Bestimmung der Refractions-Curveir, während die Diakaustika vorgeschrieben ist. 



Erster Abschnitt. 



Bestimmung der Refractions-Curven für parallele Lichtstrahlen. 



§• 15- 



Man sucht diejenige Eefractions-Curve, bei welcher die parallel auf sie auffallenden Licht- 

 strahlen so gebrochen werden, dass die Diakaustika sich in einen einzigen Punkt (Brenn- 

 punkt) zusammenzieht. 



Man richte das Coordinatensystem der gesuchten Refractions-Curve so ein , dass ihre 

 Abscissenaxe mit den Lichtstrahlen parallel ist; und wenn dabei die Coordinaten des vorge- 

 schriebenen Brennpunktes die festen Werthe g und b haben, so specialisircn sich für die- 

 selben die Gleichungen 9) und 10) bezüglich in 



198) B = * + (»+!»)•-£ 



und 



199) &=*-*.(»+!»).-£ 



und jede Curve, welche diesen beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung zugleich 

 genügt, hat die in der Aufgabe geforderte Eigenschaft. Gleichung 198) lässt sich umsetzen in 



(x — g) . dv + v . dx + dy = 

 und wenn man integrirt, so gibt sich 



200) (x— g) . v + y = A 



wo A ein Integrations-Constanter ist. Man hat nun allerdings die erste Stammgleichung zu 

 198); ob jedoch Gleichung 200) auch der 199) genügt, muss noch besonders nachgewiesen 

 werden. Aus 200) folgt 



y = A — (x— q) v 

 und 



p = — v — {*— a) • i 



und wenn man für y und p diese Ausdrücke substituirt, so reducirt Gleichung 199) sich auf 



201) f) = A 



so dass 200) übergeht in 



202) (y-lj) + (x—q) .v = Q 



Mi * 



