Das umgekehrte Problem der Trennlinien. 261 



in 206) einsetzen, und erst alsdann darf man umformen, wodurch sieh wieder die Gleichung 

 22) ergibt. 



§• 16- 



Man sucht diejenige Refractions-Curve, bei welcher die parallel auf sie einfallenden 

 Lichtstrahlen so gebrochen werden , dass ihr eine bestimmt vorgeschriebene Curve als Dia- 

 kaustika zukommt. 



Auch hier richte man das Coordinatensystem so ein, dass die Abscissenaxe mit den Licht- 

 strahlen parallel läuft; und wenn sich dann für die vorgeschriebene Diakaustika die bestimmte 

 Gleichung 



208) 8(3c^) = 



ergibt, so hat man für r. und t) die Ausdrücke 9) und 10) einzuführen; und man bekommt für 

 die gesuchte Refractionscurve folgende Differentialgleichung der zweiten Ordnung 



209) S \(x 4- (v+p) .±),fy — v. (v+p) . £)J = 

 Um das Verfahren bequem fortführen zu können, setze man 



Q anstatt x + (v+p) . -^ 

 und 



R anstatt y — v . (v +p) . -£- 



Dabei kürzt Gleichung 209) sich ab in 



210) %(Q,R) = Q 



und wenn man nach allem x differentiirt, so bekommt man 



2ii) (^ -v.%) • p + 1 ■ £—<r+P) ■ -£■) = o 



Dieser Gleichung wird aber genügt, entweder wenn 



212) 8+-£.-£-(H-i»).-£ = 

 oder wenn 



213) M._ y .^ = 



' dQ dB 



Die Differentialgleichung 212), welche von der dritten Ordnung ist, und aus welcher das der 

 vorgelegten Differentialgleichung 209) entsprechende allgemeine Urintegral gewonnen 

 wird, lässt sich ohneweiters integriren und liefert 



214) x + (v+p) .^ =A 



wo A ein Integrations-Constanter ist. Dabei geht Gleichung 209) über in 



215) %\A,(y-v.(v+p).^)\=0 



An dieser Gleichung erkennt man, dass der Ausdruck (y — v . (v-\-p) . -~\ einen von x und 

 von y unabhängigen Werth hat; und wenn man diesen Werth mit B bezeichnet, so bekommt man 



216) *-«.(*+!»)•-£ = •» 



