Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 263 



Der eine Brennpunkt ist bestimmt durch die beiden Coordinaten je und t), und der andere 

 durch die beiden Coordinaten (r -\- " J 2 _ ) und t). 



Daraus folgt, dass die Excentricität = " ' /: , '^J ist. 



Vergleicht man die in §.15 hergestellte Gleichung 207) mit der hier gefundenen Glei- 

 chung 222), so erkennt man, dass, wie sich dort die gebrochenen Lichtstrahlen in dem vor- 

 geschriebenen Brennpunkte (g, h) concentriren mussten, hier die gebrochenen Lichtstrahlen 

 sich im Brennpunkte (r., tf) concentriren, d. h. jeder einzelne Punkt der hier vorgeschriebenen 

 Diakaustika g (r, t>) = ist ein Brennpunkt zu irgend einer der durch Gleichung 222) dar- 

 gestellten Ellipsen oder Hyperbeln. Desshalb ist unter allen diesen Ellipsen oder Hyperbeln 

 keine einzige im Stande, von der vorgeschriebenen Diakaustika mehr als einen einzigen Punkt 

 zu erzeugen, d. h. keine einzige der hier gefundenen Ellipsen oder Hyperbeln ist die gesuchte 

 Refractions-Curve. Man muss daher untersuchen , ob unter diesen unendlich vielen Ellipsen- 

 Schaaren oder Hyperbel-Schaaren solche Reihen stetig neben einander liegender Ellipsen (oder 

 Ilvperbeln) vorkommen, die sich so schneiden, dass die dadurch entstandenen Durchschnitts- 

 linien auch noch der vorgelegten Differentialgleichung 209) genügen. Weil aber diese Diffe- 

 rentialgleichung eine der zweiten Ordnung ist, so muss jede Durchschnittslinie (§. 4) eine 

 solche Gränz-Curve sein, welche in allen ihren Punkten mit irgend einer der sich schneiden- 

 den Ellipsen (oder Hyperbeln) eine Berührung der zweiten Ordnung eingeht. — Die Gränz- 

 Ourven der zweiten Ordnung werden aber, wie in der analytischen Geometrie noch näher 

 auseinander gesetzt werden muss, durch das einfach singulare Urintegral dargeteilt: 

 und dieses kann bekanntlich auf drei verschiedenen Wegen ermittelt werden. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Urintegral aus dem allgemeinen 

 ableiten will, so ist dessen in Gleichung 221) aufgestellte Form die bequemste. Nun beachte 

 man, dass die Integrations-Constanten von x und von y unabhängig sind bei allen sich schneiden- 

 den Ellipsen (oder Hyperbeln): und wenn man in dieser engen Beziehung die Gleichung 221) 

 differentiirt, so bekommt man 



223-) rfy __ -X . (*-;) + Vjz-ip -r ty-D? 



' dx X . (y — tj) 



Dagegen müssen die Integrations-Constanten Functionen von x sein bei allen Gränz-Curven • 

 und wenn man in dieser weiteren Beziehung die Gleichung 221) nach allem x differentiirt, so 

 bekommt man jetzt 



224) 



Damit aber aus 223) und aus 224) sich für ~ zwei ebenförmige Ausdrücke ergeben können, 

 muss die Gleichung 



225) ((y-lj) . -| 4- (x-d) . -J- + y . () (x-tf + {y-tf) . « = 



stattfinden. Differentiirt man die "Gleichung 223) noch einmal sowohl nach allem explicit als auch 

 nach allem implicit in?/, r.,ty enthaltenen x; so bekommt man neben der Gleichung 225) auch noch 



226) ((z-r) ± X . V{x-tf+{y-tf) . ((y—$ - - (.r-r) . -g.) . Ä 



